test20190830 NOIP 模拟赛

100+70+0=170。这套题早就被上传到BZOJ上了，可惜我一到都没做过。

BZOJ4765 普通计算姬

小G的计算姬可以解决这么个问题：给定一棵n个节点的带权树，节点编号为1到n，以root为根，设sum[p]表示以点p为根的这棵子树中所有节点的权值和。计算姬支持下列两种操作:

1. 给定两个整数u,v，修改点u的权值为v。
2. 给定两个整数l,r，计算sum[l]+sum[l+1]+....+sum[r-1]+sum[r]

尽管计算姬可以很快完成这个问题，可是小G并不知道它的答案是否正确，你能帮助他吗？

N<=10^5,M<=105

题解

分块。

查询就整块答案+边角余料，对于边角余料我直接树状数组。

我对每个元素维护他到根的链上每个块中的元素出现了多少次，这样修改就扫一遍所有块就行了。

这样空间会很卡，还必须开 unsigned long long，这出题人真的毒。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T> T read(){
	T x=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)) c=getchar();
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x;
}
template<class T> T read(T&x){
	return x=read<T>();
}
#define co const
#define il inline
typedef unsigned long long LL;

co int N=100000+1,M=599+1;
int n,m,val[N];
vector<int> to[N];
int pos[N],dfn,lst[N];

namespace T{
	LL sum[N];

	il void change(int p,int v){
		for(int i=p;i<=n;i+=i&-i) sum[i]+=v;
	}
	il LL query(int p){
		LL ans=0;
		for(int i=p;i;i-=i&-i) ans+=sum[i];
		return ans;
	}
}

int blo,num,bel[N];
int L[M],R[M],cnt[N][M];
LL sum[M];

void dfs(int x,int fa){
	pos[x]=++dfn,T::change(pos[x],val[x]);
	copy(cnt[fa]+1,cnt[fa]+num+1,cnt[x]+1),++cnt[x][bel[x]];
	for(int i=1;i<=num;++i) sum[i]+=(LL)val[x]*cnt[x][i]; // edit 1:long long
	for(int i=0;i<(int)to[x].size();++i){
		int y=to[x][i];
		if(y==fa) continue;
		dfs(y,x);
	}
	lst[x]=dfn;
}

int main(){
	freopen("common.in","r",stdin),freopen("common.out","w",stdout);
	read(n),read(m);
	blo=ceil(sqrt(n)/1.9),num=(n+blo-1)/blo;
	for(int i=1;i<=num;++i) L[i]=R[i-1]+1,R[i]=min(i*blo,n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		read(val[i]);
		bel[i]=(i+blo-1)/blo;
	}
	int root;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int x=read<int>(),y=read<int>();
		if(!x) {root=y;continue;}
		to[x].push_back(y),to[y].push_back(x);
	}
	dfs(root,0);
	while(m--){
		if(read<int>()==1){
			int x=read<int>(),v=read<int>();
			T::change(pos[x],v-val[x]);
			for(int i=1;i<=num;++i) sum[i]+=(LL)(v-val[x])*cnt[x][i]; // edit 1
			val[x]=v;
		}
		else{
			int l=read<int>(),r=read<int>();
			LL ans=0;
			if(bel[l]==bel[r]){
				for(int i=l;i<=r;++i) ans+=T::query(lst[i])-T::query(pos[i]-1);
			}
			else{
				for(int i=bel[l]+1;i<=bel[r]-1;++i) ans+=sum[i];
				for(int i=l;i<=R[bel[l]];++i) ans+=T::query(lst[i])-T::query(pos[i]-1);
				for(int i=L[bel[r]];i<=r;++i) ans+=T::query(lst[i])-T::query(pos[i]-1);
			}
			printf("%llu\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}

实际上可以不用树状数组，对 DFS 序再次分块，维护前缀和即可 O(1)。

BZOJ4766 文艺计算姬

文艺计算姬能计算一个带标号完全二分图的生成树个数。更具体地，给定一个一边点数为n，另一边点数为m，共有n*m条边的带标号完全二分图K_{n,m}，计算姬能快速算出其生成树个数。小W不知道计算姬算的对不对，你能帮助他吗？

1 <= n,m,p <= 10^18

题解

考试的时候手玩70分巨爽。

回想起来我学习矩阵树还是初中的时候，那时我还不会在BZOJ上面找题做。不然我绝对会把这道经典题做了。

先把上面 n-1 行每一行都加到第 n 行去。 然后第 n 行变成 n-1 个 m-1 然后一个 1 再来 m-1 个 1-n。

把下面 m-1 行每一行都加到第 n 行去。 然后第 n 行变成只有后 m 个位置是 1。

把第 n 行加到前 n-1 行去，就把后面那堆-1消掉了。

然后变成下三角矩阵，行列式就是主对角线的乘积。 \(ans=n^{m-1}m^{n-1}\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T> T read(){
	T x=0,w=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*w;
}
template<class T> T read(T&x){
	return x=read<T>();
}
#define co const
#define il inline
#define int long long

int mod;
il int mul(int a,int b){
	int ans=0;
	for(;b;b>>=1,a=(a+a)%mod)
		if(b&1) ans=(ans+a)%mod;
	return ans;
}
il int fpow(int a,int b){
	int ans=1;
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))
		if(b&1) ans=mul(ans,a);
	return ans;
}

signed main(){
	int n=read<int>(),m=read<int>();read(mod);
	printf("%lld\n",mul(fpow(n,m-1),fpow(m,n-1)));
	return 0;
}

BZOJ4767 两双手

老W是个棋艺高超的棋手，他最喜欢的棋子是马，更具体地，他更加喜欢马所行走的方式。老W下棋时觉得无聊，便决定加强马所行走的方式，更具体地，他有两双手，其中一双手能让马从(u,v)移动到(u+Ax,v+Ay)而另一双手能让马从(u,v)移动到(u+Bx,v+By)。

小W看见老W的下棋方式，觉得非常有趣，他开始思考一个问题：假设棋盘是个无限大的二维平面，一开始马在原点(0,0)上，若用老W的两种方式进行移动，他有多少种不同的移动方法到达点(Ex,Ey)呢？两种移动方法不同当且仅当移动步数不同或某一步所到达的点不同。

老W听了这个问题，觉得还不够有趣，他在平面上又设立了n个禁止点，表示马不能走到这些点上，现在他们想知道，这种情况下马有多少种不同的移动方法呢？

答案数可能很大，你只要告诉他们答案模(10^9+7)的值就行。

保证Ax*By-Ay*Bx≠0

|Ax|,|Ay|,|Bx|,|By| <= 500, 0 <= n,Ex,Ey <= 500

题解

题面保证了给出的两个向量叉积为 0，就是说它们不平行。不平行的两个向量可以作为一组基底，根据向量唯一分解定理，原先平面上的所有点就获得了一个新坐标。于是问题变成了：从 (0,0) 走到 (n,m) ，中间不能经过指定的 k 个点，求方案数。

这是个简单的容斥 DP。记 \(f[i]\) 表示从 (0,0) 走到 i 号障碍点，中间不经过其它障碍点的方案数，这可以用组合数减去不合法的方案数求得。而不合法的方案必然存在第一个遇到的非 i 号障碍点 j ，于是有

\[f[i]=g(0,i)-\sum_{j.x\leq i.x,j.y\leq i.y}f[j]*g(j,i)
\]

其中 \(g(i,j)\) 表示第 \(i\) 个点到第 \(j\) 个点的方案数。这个就是个简单的组合数。

看到这个 DP 式，我觉得很熟悉。我大概做过这道题的简化版。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T> T read(){
	T x=0,w=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*w;
}
template<class T> T read(T&x){
	return x=read<T>();
}
#define co const
#define il inline
typedef long long LL;

co int mod=1000000000+7;
il int add(int a,int b){
	return (a+=b)>=mod?a-mod:a;
}
il int mul(int a,int b){
	return (LL)a*b%mod;
}
il int fpow(int a,int b){
	int ans=1;
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))
		if(b&1) ans=mul(ans,a);
	return ans;
}

struct Vector {int x,y;};
il int cross(co Vector&a,co Vector&b){
	return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
bool trans(co Vector&A,co Vector&B,Vector&E){
	int s=cross(A,B),x=cross(E,B);
	if(x%s) return 0;
	int t=cross(B,A),y=cross(E,A);
	if(y%t) return 0;
	E=(Vector){x/s,y/t};
	return 1;
}
il bool operator<(co Vector&a,co Vector&b){
	return a.x!=b.x?a.x<b.x:a.y<b.y;
}

co int N=501,M=1000000+1;
Vector E,A,B,S[N];
int fac[M],ifac[M],f[N];

il int binom(int n,int m){
	return mul(fac[n],mul(ifac[m],ifac[n-m]));
}

int main(){
	read(E.x),read(E.y);
	int n=read<int>();
	read(A.x),read(A.y),read(B.x),read(B.y);
	if(!trans(A,B,E)) {puts("0");return 0;}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		read(S[i].x),read(S[i].y);
		if(!trans(A,B,S[i])||S[i].x<0||S[i].x>E.x||S[i].y<0||S[i].y>E.y) --n,--i;
	}
	sort(S+1,S+n+1),S[++n]=E;
//	for(int i=1;i<=n;++i) cerr<<i<<" = "<<S[i].x<<" "<<S[i].y<<endl;
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<M;++i) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	ifac[M-1]=fpow(fac[M-1],mod-2);
	for(int i=M-2;i>=0;--i) ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);

	for(int i=1;i<=n;++i){
		f[i]=binom(S[i].x+S[i].y,S[i].x);
		for(int j=1;j<i;++j){
			int dx=S[i].x-S[j].x,dy=S[i].y-S[j].y;
			if(dx<0||dy<0) continue;
			f[i]=add(f[i],mod-mul(f[j],binom(dx+dy,dx)));
		}
	}
	printf("%d\n",f[n]);
	return 0;
}

说一下如何向量分解。假设两个基向量是 \(i,j\)，新向量分解的结果是 \(xi+yj\)，考虑以下式子

\[\frac{(xi+yj)\times i}{j\times i}=y\\
\frac{(xi+yj)\times j}{i\times j}=x
\]

这样就不用解方程了，虽然效果都一样。