min-max容斥学习笔记

min-max容斥学习笔记

• 前置知识

  二项式反演
  \[
  f(n)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i)
  \]

• 一些定义

  \(\max (S),\min (S)\)表示分别集合\(S\)的最大，最小元素

• 套路式子
  \[
  \max(S)=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}(-1)^{|T|-1}\min(T)
  \]

• 证明

  首先我们先设一个容斥系数\(f(x)\)
  \[
  \max(S)=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}f(|T|)\min(T)
  \]
  设集合\(S\)有\(n\)个元素，我们讨论第\(k\)小元素的贡献
  \[
  \sum_{i=0}^{n-k}\binom{n-k}{i}f(i+1)=[n-k=0]
  \]
  就是当这个元素成为最小值时另外再选几个比它要大的元素的方案，如果这个元素不是最大元素，要求不贡献

  设
  \[
  F(n)=f(n+1),G(n)=[n=0]
  \]
  上式为
  \[
  G(n)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}F(i)
  \]
  由二项式反演
  \[
  F(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}G(i)
  \]
  代回去
  \[
  \begin{aligned}
  f(n+1)&=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}[i=0]\\
  &=(-1)^n\\
  f(n)&=(-1)^{n-1}
  \end{aligned}
  \]
  所以有
  \[
  \max(S)=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}(-1)^{|T|-1}\min(T)
  \]

• 用处

  在期望意义下，这个式子依然成立，即
  \[
  E(\max(S))=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}(-1)^{|T|-1}E(\min(T))
  \]
  下面给几个例题

• 例题

  • HDU4336

    题意：有\(n\)个卡牌，每秒有\(p_i\)的概率抽到卡牌\(i\)，求至少得到每个卡牌至少一张的期望时间

    min-max容斥有个套路思想就是化max为min，因为min一般比较好统计

    令\(\max (S)\)表示集合\(S\)中最后一个获得元素的期望时间，\(\min (S)\)代表集合\(S\)中第一个获得元素的期望时间

    那么有上面的套路式子
    \[
    \max(S)=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}(-1)^{|T|-1}\min(T)
    \]
    \(\min (T)\)就非常好求了
    \[
    \min(T)=\frac{1}{\sum_{i\in T}p_i}
    \]
    就是先把总概率算一下的事情

  • 「HAOI2015」按位或

    题意：初始有一个数\(0\)，每秒有\(p_i\)的概率或(|)上整数\(i(i\in [0,2^n))\)，求期望多少秒后数组变成\(2^n-1\)

    令\(\max(S)\)表示最后一个或上去的期望时间，\(\min(S)\)同理

    式子随便套，考虑求出\(\min(T)\)
    \[
    \min(T)=\frac{1}{\sum_{S\cap T\not=\varnothing}p_S}
    \]
    考虑求底下的东西
    \[
    \begin{aligned}
    \sum_{S\cap T\not=\varnothing}p_S&=\sum_{S\subseteq U} p_S-\sum_{S\cap T=\varnothing}p_S\\
    &=\sum_{S\subseteq U}p_S-\sum_{\overline S\cup T=\overline S}p_S
    \end{aligned}
    \]
    后面的东西取补集后是子集和的形式，我们可以\(FWT\)或者\(FMT\)在\(2^nn\)内求出

  • 「PKUWC2018」随机游走

    题意：树上随机游走，给定起点，每次询问至少走过一次点集的期望时间

    直接套路上去考虑如何求\(\min (T)\)，即第一次到达给定点集的期望步数

    令\(dp_u\)表示\(u\)走到给定点集\(S\)的期望步数，\(d_u\)为\(u\)点度数

    若\(u\in S,dp_u=0\)

    否则
    \[
    \begin{aligned}
    dp_u&=\frac{dp_{fa}}{d_u}+\frac{\sum dp_v}{d_u}+1\\
    &=A_udp_{fa}+B_u
    \end{aligned}
    \]
    就先把环状的转移和其他的分开搞一下，那么
    \[
    dp_u=\frac{dp_{fa}}{d_u}+\frac{\sum A_vdp_u+B_v}{d_u}+1
    \]
    化简一下
    \[
    (1-\frac{\sum A_v}{d_u})dp_u=\frac{dp_{fa}}{d_u}+\frac{\sum B_v}{d_u}+1
    \]
    把左边除过去就可以了

    这样的话我们可以\(n2^n\log 998244353\)处理出每个集合的\(\min(S)\)了，仍然可以预处理子集和

• kthmax-min容斥
  \[
  kthmax(S)=\sum_{\varnothing\not=T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\min(T)
  \]
  \(kthmax(S)\)表示集合中第\(k\)大的元素

  证明起来和普通的差不多

  设一个容斥系数\(f(n)\),统计\(n\)个元素中第\(x\)小的贡献
  \[
  \sum_{i=0}^{n-x}\binom{n-i}{i}f(i+1)=[n-x+1=k]\\
  \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f(i+1)=[n=k-1]\\
  f(n+1)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}[i=k-1]\\
  f(n)=(-1)^{n-k}\binom{n-1}{k-1}
  \]

  • 例题

    重返现世

    题解

• 参考资料

  【Learning】min-max容斥以及推广kth min-max容斥

  min-max容斥