EK算法模板

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
int dp[][],pre[];
const int tmin=;
int maxflow;
void EK(int start,int end,int n){
    while(){
        queue<int>q;
        q.push();//源点为1，进队
       int  minflow=tmin;
        memset(pre,,sizeof(pre));//初始化增广路径数组，题目中的顶点是从1开始的
        while(!q.empty()){//bfs找增广路
            int u=q.front();
            q.pop();
            for(int i=;i<=n;i++){
                if(dp[u][i]>&&!pre[i]){//pre[i]除了记录当前顶点的父亲，还记录当前顶点有没被访问过
                    pre[i]=u;
                    q.push(i);
                }
            }
        }
        if(pre[end]==)//顶点的父亲为空，表示找不到增广路，很容易理解吧。。
            break;
        for(int i=end;i!=start;i=pre[i]){//找出增广路中最小残余量
            minflow=min(dp[pre[i]][i],minflow);
        }
        for(int i=end;i!=start;i=pre[i]){//更新增广路中正反向弧的流量
            dp[pre[i]][i]-=minflow;
            dp[i][pre[i]]+=minflow;
        }
        maxflow+=minflow;
    }
}
int main(){
   int count=;
   int n,m;
   int t;
   scanf("%d",&t);
   while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
       memset(dp,,sizeof(dp));
       memset(pre,,sizeof(pre));
       count++;
       int u,v,w;
       for(int i=;i<=m;i++){
           scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
           dp[u][v]+=w;
       }
       maxflow=;
       EK(,n,n);
       printf("Case %d: %d\n",count,maxflow);
   }
   return ;
}

EdmondsKarp算法，简称EK算法，O(m^2n)

因为是初学教程，所以我会尽量避免繁杂的数学公式和证明。也尽量给出了较为完整的代码。 
本文的目标群体是网络流的初学者，尤其是看了各种NB的教程也没看懂怎么求最大流的小盆友们。本文的目的是，解释基本的网络流模型，最基础的最大流求法，即bfs找增广路法，也就是EK法，全名是Edmond-Karp，其实我倒是觉得记一下算法的全名和来历可以不时的拿出来装一装。 
    比如说这个，EK算法首先由俄罗斯科学家Dinic在1970年提出，没错，就是dinic算法的创始人，实际上他提出的也正是dinic算法，在EK的基础上加入了层次优化，这个我们以后再说，1972年Jack Edmonds和Richard Karp发表了没有层次优化的EK算法。但实际上他们是比1790年更早的时候就独立弄出来了。 
    你看，研究一下历史也是很有趣的。 
    扯远了，首先来看一下基本的网络流最大流模型。 
    有n个点，有m条有向边，有一个点很特殊，只出不进，叫做源点，通常规定为1号点。另一个点也很特殊，只进不出，叫做汇点，通常规定为n号点。每条有向边上有两个量，容量和流量，从i到j的容量通常用c[I,j]表示,流量则通常是f[I,j]。通常可以把这些边想象成道路，流量就是这条道路的车流量，容量就是道路可承受的最大的车流量。很显然的，流量<=容量。而对于每个不是源点和汇点的点来说，可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站，所有”进入”他们的流量和等于所有从他本身”出去”的流量。 
    把源点比作工厂的话，问题就是求从工厂最大可以发出多少货物，是不至于超过道路的容量限制，也就是，最大流。 
    比如这个图。每条边旁边的数字表示它的容量。 
    

下面我们来考虑如何求最大流。

首先，假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量)，那么就把这一组流量，或者说，这个流，称为一个可行流。一个最简单的例子就是，零流，即所有的流量都是0的流。 
我们就从这个零流开始考虑，假如有这么一条路，这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点，并且，这条路上的每一段都满足流量<容量，注意，是严格的<,而不是<=。那么，我们一定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值delta。我们把这条路上每一段的流量都加上这个delta，一定可以保证这个流依然是可行流，这是显然的。 
    这样我们就得到了一个更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而这条路就叫做增广路。 
    我们不断地从起点开始寻找增广路，每次都对其进行增广，直到源点和汇点不连通，也就是找不到增广路为止。当找不到增广路的时候，当前的流量就是最大流，这个结论非常重要。 
寻找增广路的时候我们可以简单的从源点开始做bfs，并不断修改这条路上的delta量，直到找到源点或者找不到增广路。 
这里要先补充一点，在程序实现的时候，我们通常只是用一个c数组来记录容量，而不记录流量，当流量+1的时候，我们可以通过容量-1来实现，以方便程序的实现。