[原博客] BZOJ 2242 [SDOI2011] 计算器

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noip级数论模版题了吧。
让求三个东西：

1. 给定y,z,p,计算`Y^Z Mod P` 的值。
2. 给定y,z,p，计算满足`xy≡ Z ( mod P )`的最小非负整数。
3. 给定y,z,p，计算满足`Y^x ≡ Z ( mod P)`的最小非负整数。

其中P均为素数。
来分着处理。

1 `y^z%p` 快速幂。
推荐一种又快又好写的写法。

 LL power_mod(LL a,LL b,LL p){ //get a^b%p
     LL ret=;
     while(b){
         ) ret = ret * a % p;
         a = a * a % p;
         b>>=;
     }
     return ret;
 }

为什么是对的呢，拆成二进制看一看就好了。

2 Yx==Z%p 扩展欧几里德。

Yx==Z%p可以变形成为Yx+py==Z
显然仅当gcd(Y,p)|Z时有解。
我们知道ex_gcd可以求ax0+by0==gcd(a,b)的一组解。
所以我们让原方程两边都除以gcd(Y,p)，然后得到Yx0+py0==gcd(Y,p)的一组解。
于是Z/gcd(Y,p)*x0%p为原题的答案。注意要让结果为正。

3 Y^x %p ≡ Z Baby step-giant step

其实也是一种分块的思想。
设 m=√p。
可以表示为 Y^(km) * Y^r == Z (mod P)。
注意到0<=r<m 只有√p种取值，所以我们可以预处理出来，算出它的逆元再乘Z，扔进一个set。

然后枚举k，set中查询Y^(km)，如果有这个值，就说明找到了解。
逆元的话。因为p是素数，所以直接power_mod(Y,p-2,p);就好了。

从原博客搬运过来。