x+2y+3z=n的非负整数解数
题目:给一个正整数n,范围是[1,10^6],对于方程:x+2y+3z = n,其中x,y,z为非负整数,求有多少个这样的三元组
(x,y,z)满足此等式。
分析:先看x+2y=m,很明显这个等式的非负整数解数目为m/2 + 1,然后再看x+2y+3z = n,设k=n/3,那么它的解数目为:
ans = n/2+1+(n-3)/2+1+...+(n-3k)/2+1
所以就有:
LL Work(int n)
{
LL ans = 0;
for(int i=0;i<=n/3;i++)
ans += (n - 3*i)/2 + 1;
return ans;
}
进一步优化,我们不使用循环,直接合并,得到:
LL Work(LL n)
{
LL k = n/3;
LL ans = (n+2)*(k+1) - 3*k*(k+1)/2;
if(k%2!=0 && ans%2==0)
ans -= k/2+1;
else
ans -= k/2;
return ans/2;
}
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