HDU 1024 Max Sum Plus Plus (动态规划、最大m子段和)
Max Sum Plus Plus
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 44371 Accepted Submission(s): 16084
Problem Description
Given a consecutive number sequence S1, S2, S3, S4 ... Sx, ... Sn (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ Sx ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = Si + ... + Sj (1 ≤ i ≤ j ≤ n).
Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i1, j1) + sum(i2, j2) + sum(i3, j3) + ... + sum(im, jm) maximal (ix ≤ iy ≤ jx or ix ≤ jy ≤ jx is not allowed).
But
I`m lazy, I don't want to write a special-judge module, so you don't
have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of
sum(ix, jx)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_^
Input
Process to the end of file.
Output
Sample Input
- - -
Sample Output
题目大意
从一序列中取出若干段,这些段之间不能交叉,使得和最大并输出。、
题目分析
动态规划 首先我们可以列出最基本的状态转移方程:
dp[i][j] = max( dp[i][j-1] + a[j] , dp[i-1][k] + a[j ]) i-1<=k<=j-1
这个方程的含义是:
dp[i][j] 是将前 j 个数分成 i 份,且第 i 份包含第 j 个数 的情况下的最大值
那么对于第 j 个数来说,就有两个选择:
作为第 i 份的一部分 :也就是将前 j-1 个数分成 i 份 且第 j-1 个数属于第 i 份 即 dp[i][j-1]
或者单独出来成为第 i 份:也就是将前 j-1 个数分成 i-1 份 且第 j-1 个数不一定属于第 i-1 份 即 dp[i-1][k] i-1<=k<=j-1
但是这个方程不仅时间复杂度高,空间复杂度也高的可怕 这是不行的
所以我们要将其优化:
首先我们发现 dp[i][j] 只需要比较 dp[i][j-1] 与 dp[i-1][k] 的最大值即可 而这个 dp[i-1][k] 的最大值是可以记录下来的 不需要遍历 这就砍去了一层循环
所以我们只需要定义一个 pre[n] 数组 用 pre[j] 来存储第 j-1 个数被分成 i-1 份时的最大值即可
于此同时 在计算 dp[i][j] 时,我们可以计算出 dp[i][k] i<=k<=j 的值 而这个值是在之后我们要计算 dp[i+1][j+1] 时 要使用的 pre[j]
现在状态转移方程变成了:
dp[i][j] = max( dp[i][j-1] + a[j] , pre[j-1] + a[j ])
现在我们发现 由于pre[j] 的存在 似乎已经不需要 dp[i][j] 这个庞大的二维数组了 只需要开一个 dp[n] 的数组 用dp[j]来存储dp[i][j]即可,因为当前的转移方程根本就没有用到 i 这一维!
这样的话 转移方程又变成了:
dp[j] = max( dp[j-1] + a[j] , pre[j-1] + a[j ])
不过 i 的这一层循环还是得循环的 这个砍不掉的...
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n,m,dp[],a[],pre[],i,j,temp; int main()
{
while(scanf("%d %d",&m,&n)!=EOF)
{
memset(dp,,sizeof(dp));
memset(a,,sizeof(a));
memset(pre,,sizeof(pre));
for(i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
for(i=;i<=m;i++)
{
temp=-0x7ffffff;
for(j=i;j<=n;j++)
{
dp[j]=max(dp[j-],pre[j-])+a[j];
pre[j-]=temp;
temp=max(temp,dp[j]);
}
}
cout<<temp<<endl;
}
}
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