Codeforces 840C 题解（DP+组合数学）

题面

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C. On the Bench
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memory limit per test256 megabytes
inputstandard input
outputstandard output
A year ago on the bench in public park Leha found an array of n numbers. Leha believes that permutation p is right if for all 1 ≤ i < n condition, that api·api + 1 is not perfect square, holds. Leha wants to find number of right permutations modulo 109 + 7.

Input
First line of input data contains single integer n (1 ≤ n ≤ 300) — length of the array.

Next line contains n integers a1, a2, … , an (1 ≤ ai ≤ 109) — found array.

Output
Output single integer — number of right permutations modulo 109 + 7.

Examples
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3
1 2 4
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2
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7
5 2 4 2 4 1 1
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144
Note
For first example:

[1, 2, 4] — right permutation, because 2 and 8 are not perfect squares.

[1, 4, 2] — wrong permutation, because 4 is square of 2.

[2, 1, 4] — wrong permutation, because 4 is square of 2.

[2, 4, 1] — wrong permutation, because 4 is square of 2.

[4, 1, 2] — wrong permutation, because 4 is square of 2.

[4, 2, 1] — right permutation, because 8 and 2 are not perfect squares.
中文题目大意:
给出n个正整数数，求将n个数排列成相邻两个数之积不是完全平方数的序列的方法数，结果模1000000007

分析

此题是一道综合性题目，考察了DP，组合数学和数论知识
我们先从DP入手
在DP之前，要做一个预处理，将n个数分成size组，每组中的数相乘为完全平方数，与其他数乘起来不能得到完全平方数的数单独一组
如1 4 2 5 9 可以分为{1.4.9}，{2}，{5}三组

接着开始推导DP方程
分解子状态：设dp[i][j] 表示前i组数中有j个不合法的数对时的方法数（一个不合法数对即两个数乘起来是完全平方数，如1,9）
设第i组有cnt个数，前i组一共有sum个数
第i组数的顺序可以任意排列，有cnt!种排法
我们将第i组分为k段，则产生了k个不合法的序列，分为s段的方法数为C（cnt-1,k-1) .可以这样想象，在第i组数中间的cnt-1个间隔中，插入k-1个隔板，把cnt个数分为k段

从前面j个数对不合法的中选p个数对，有C（j,p)种方法，将k组数中的p组插入到数对中，使每个数对中间有一组数，这样就消除了p个不合法数对
如数对（1,4) 可以用插入数对（5,20）来消除
数列变成5,1,20,4

k组数中的另外(k-p)组数则另外选位置插入。在sum+1个可插入的位置(头尾也可以插入），原来不合法的j个空缺不能插入，因此只能插入到sum+1-j个位置，有C（sum+1-j,k-p）种方法,这s-p组数本身是不合法的。
原本这cnt个数连续排在一起是不合法的，会产生cnt-1个不合法数对，但我们用k-1个隔板隔开后，有k-1个位置变成合法的了，每组数因此又会产生cnt-k个不合法位置
如：1 4 9 ，分为{1,4}，{9}插入到序列A,B,C中
A 1 4 B 9 C ，有1个位置不合法，即1,4

这样插入过后，消除了p个不合法数对，新增了cnt-k个不合法数对，总不合法数对个数为j-p+cnt-k个
于是我们就实现了从dp[i-1][j]到dp[j-p+cnt-k]的转移
状态转移方程为:
dp[i][j−p+cnt−k]=dp[i][j−p+cnt−k]+cnt!×dp[i−1][j]×Ck−1cnt−1×Cpj×Ck−psum+1−jdp[i][j−p+cnt−k]=dp[i][j−p+cnt−k]+cnt!×dp[i−1][j]×Ccnt−1k−1×Cjp×Csum+1−jk−p