洛谷 P1742 最小圆覆盖 (随机增量)

题目链接：P1742 最小圆覆盖

题意

给出 N 个点，求最小的包含所有点的圆。

思路

随机增量

最小圆覆盖一般有两种做法：随机增量和模拟退火。随机增量的精确度更高，这里介绍随机增量的做法。

先将所有点随机打乱。

令前 \(i - 1\) 个点的最小覆盖圆为圆 \(O\)，加入第 \(i\) 个点。

如果第 \(i\) 个点在圆 \(O\) 内或圆 \(O\) 上，则前 \(i\) 个点的最小覆盖圆还是圆 \(O\)。

否则新得到的最小覆盖圆肯定经过第 \(i\) 个点。然后确定前 \(i − 1\) 个点中还有哪两个点在最小覆盖圆上。

以第 \(i\) 个点为圆心，半径为 \(0\)，重复以上过程依次加入点 \(P_j\)。(圆心为 \(\frac{P_i+P_j}{2}\)，半径为 \(\frac{|P_iP_j|}{2}\))

固定两个点之后再重复以上步骤找第三个点。(因为需要三个点来确定一个圆)

遍历完所有点之后，所得到的圆就是最小覆盖圆。

时间复杂度为 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
const db eps = 1e-8;
const db pi = acos(-1.0);
const ll maxn = 1e5 + 10;

inline int dcmp(db x) {
    if(fabs(x) < eps) return 0;
    return x > 0? 1: -1;
}

class Point {
public:
    double x, y;
    Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}
    void input() {
        scanf("%lf%lf", &x, &y);
    }
    bool operator<(const Point &a) const {
        return (!dcmp(x - a.x))? dcmp(y - a.y) < 0: x < a.x;
    }
    bool operator==(const Point &a) const {
        return dcmp(x - a.x) == 0 && dcmp(y - a.y) == 0;
    }
    db dis2(const Point a) {
        return pow(x - a.x, 2) + pow(y - a.y, 2);
    }
    db dis(const Point a) {
        return sqrt(dis2(a));
    }

    db dis2() {
        return x * x + y * y;
    }
    db dis() {
        return sqrt(dis2());
    }
    Point operator+(const Point a) {
        return Point(x + a.x, y + a.y);
    }
    Point operator-(const Point a) {
        return Point(x - a.x, y - a.y);
    }
    Point operator*(double p) {
        return Point(x * p, y * p);
    }
    Point operator/(double p) {
        return Point(x / p, y / p);
    }
    db dot(const Point a) {
        return x * a.x + y * a.y;
    }
    db cross(const Point a) {
        return x * a.y - y * a.x;
    }
    db ang(Point a) {
        return acos((a.dis() * dis()) / dot(a));
    }
};
typedef Point Vector;

class Circle {
public:
    Point o;
    db r;
    Circle() {}
    Circle(Point o, db r):o(o), r(r){}
    // 三点定圆
    Circle(Point A, Point B, Point C) {
        double a1 = B.x - A.x, b1 = B.y - A.y, c1 = (a1 * a1 + b1 * b1) / 2;
        double a2 = C.x - A.x, b2 = C.y - A.y, c2 = (a2 * a2 + b2 * b2) / 2;
        double d = a1 * b2 - a2 * b1;
        o.x = A.x + (c1 * b2 - c2 * b1) / d;
        o.y = A.y + (a1 * c2 - a2 * c1) / d;
        r = o.dis(A);
    }
    Point point(db a) {
        return Point(o.x + cos(a) * r, o.y + sin(a) * r);
    }
    // 点在圆内
    bool PinC(Point p) {
        db d = p.dis(o);
        return dcmp(d - r) < 0;
    }
    // 点在圆外
    bool PoutC(Point p) {
        db d = p.dis(o);
        return dcmp(d - r) > 0;
    }
};

vector<Point> p;

// 最小圆覆盖
Circle min_circle(vector<Point> p) {
    int sz = p.size();
    random_shuffle(p.begin(), p.end());
    Circle ans(p[0], 0.0);
    for(int i = 0; i < sz; ++i) {
        if(ans.PoutC(p[i])) {
            ans = Circle(p[i], 0);
            for(int j = 0; j < i; ++j) {
                if(ans.PoutC(p[j])) {
                    ans = Circle((p[i] + p[j]) / 2.0, p[i].dis(p[j]) / 2.0);
                    for(int k = 0; k < j; ++k) {
                        if(ans.PoutC(p[k])) {
                            ans = Circle(p[i], p[j], p[k]);
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        Point tmp;
        tmp.input();
        p.push_back(tmp);
    }
    Circle ans = min_circle(p);
    printf("%.10lf\n%.10lf %.10lf\n", ans.r, ans.o.x, ans.o.y);
    return 0;
}

参考

• 最小圆（球）覆盖学习笔记
• 随机增量法