ZROI 19.08.01 树上数据结构

1.总览

LCT
链分治（树剖）
点/边分治

2.点分治

一棵树，点有$0/1$，多次修改，询问最远的两个$1$距离。

建出点分树，每个子树用堆维护：①最远的$1$距离；②它的每个儿子的①堆顶；

全局维护每棵子树②堆最大的两个值，每次修改暴力改就可以。

时间复杂度$O(n \log^2n)$（基本动态点分都是$\log^2$以上的复杂度……然而仍然随便过$10^5$，小常数可能性微存？）。

一棵树，点有点权，每次询问距离一个点不超过$k$的点权和。

每个点维护一个深度数据结构（这里树状数组就可以），询问的时候子树直接查，父亲递归上去。

每个点对每个儿子单独维护一个树状数组，因为计算的时候要差分。

一棵树，度数不超过$20$，支持修改点权，求带权重心。

考虑重心在树上转移的过程，如果不是到父亲，显然是走到$size_y>\frac{size_x}{2}$的一个子树。

可以用点分树优化这个过程。

每次扫一下所有儿子，找到最优的，直接跳到分治中心递归即可。

由于重心是凸的，可以保证正确性。

[Ynoi2011]D1T3

考虑查询的时候，在点分树上找到最浅的一个点$y$，满足这个点被保留$[l,r]$后被$x$的连通块包含，则所有$[l,r]$间的点都在$y$的子树里。

对于以$y$为分治中心的每个点$i$，维护从$i$到$y$路径上编号最大和最小的点$\max_i,\min_i$。

发现点$i$在连通块内的充要条件是$[\min_i,\max_i] \subseteq [l,r]$，转化成了经典二维数点问题。

3.链分治

$n$个点的树，每条边可以切断或不切断，求$1$号点连通块大小恰好为$k$的方案数，对ntt模数取模。$n \leq 10^5$。

一个比较显然的暴力是直接背包，每对点会在$lca$处产生一次复杂度，总复杂度$O(n^2)$。

观察dp式子$f_{x,j}=\prod_{y \in son_x}^{\sum_k=j}(f_{y,k}+[k=0])$，发现很像一个卷积。

考虑链分治，树上轻儿子$size$和是$O(n\log n)$级别。

所以对于一条重链，可以先递归求出它链上所有轻儿子的生成函数，然后就变成了序列上问题，这个可以分治fft解决。总复杂度$O(n\log^3n)$，不过常数很小。

[Ynoi2011]D2T3

著名毒瘤题。（我写这题的时候splay和treap都被卡常了，最后换了压缩trie才过）

比较naive的想法是根号分治+$\log$数据结构。

发现对于每个大点，修改次数均摊$O(\sqrt n)$次，询问次数只有均摊$O(1)$次，用分块代替$\log$数据结构，可以做到$O(n\sqrt n)$。
，
换一种思路，对每个点维护轻儿子，则不在这个集合里的只有重儿子，本身和父亲。修改的时候暴力跳重链就行了。

单次修改$\log^2n$，询问$\log n$。（实际上有一个$\log$的做法）

【集训队互测2016】Unknown

比较naive的想法是离线建出操作树，问题变成了求链上叉积最大值。然而直接维护凸包是$\log^3 n$的（树剖+线段树/set+凸包上二分）。

观察在重链上跳的过程，发现除了最后一次，每次都是重链上的一个前缀，那么可以离线询问，对每条重链直接暴力维护前缀凸包，两部分都是$\log^2n$。

$n$个点的树，$q$次操作，支持修改点权，询问最大权联通子图。$n, q \leq 10^5$。

考虑序列上怎么做，发现就是一个经典的线段树题。

把它搬到树上，发现就是一个动态dp，做完了。

4.LCT

动态dp：只要满足dp式子具有可合并性，即，两个操作复合之后可以变成同样形态，只是系数不同的操作，就可以用动态dp维护。

$n$个人，$0$~$n-1$，每个人有一个$a_i$。初始有一个$x=0$，按顺序依次执行每个人，可以选择把$x$变成$(x+a_i) \mod n$，最后$x$获胜。每个人的策略都是：只有变了$x$必胜，且不变$x$不必胜时，他才会变。$q$次操作，每次修改某个$a_i$，输出操作后谁会获胜。

每轮游戏只会有一个人动手，且动手前后一定是$i-a_i => i$。

如果$i\geq a_i$，则$i$向$i-a_i$连边，整个结构形成了一个森林。

所有叶节点为$f_i=1$，中间节点为$\max(0, 1-\sum_{j\in son_i}f_j$，lct维护动态dp即可。

$n$个点的点仙人掌，边带权，$m$次操作，每次修改一条边权或询问两点间最大流。

最大流=最小割。

最小割如果是环边，就一定会把环上的最小值删掉，不妨把它删掉并把它的权值加到环上的其他边上，lct维护即可。

圆方树也可以做，~~合理设置边权即可。~~

$n$个点的树，$q$次操作：增加点权，翻转路径（权值），询问路径和/最大值/最小值。

建两棵splay分别维护权值和形态，保证中序遍历一一对应，修改直接在权值splay上做就好了。

CF1137F

发现修改操作和lct中的换根操作一模一样，直接lct维护就行了。需要一个树状数组来维护额外信息。

有$A,B,C$三个点集，各有$n_A,n_B,n_C$个点。其中$A\cup B,A\cup C$分别构成两棵树，$A$内部没有边。随机$i,j$，删除$[B_1,B_i],[C_1,C_j]$，问$A$仍然联通的概率。$n_i\leq 10^5$。

枚举$i$，显然$j$具有单调性，可以双指针。对于$AB$间的每条边，边权设为删除时间，加入$AC$边的时候删除$AB$间最早删除的边即可，lct随便维护。

~~不知道为什么这种水题讲了那么久。~~