【uva 11082】Matrix Decompressing(图论--网络流最大流 Dinic+拆点二分图匹配)
题意:有一个N行M列的正整数矩阵,输入N个前1~N行所有元素之和,以及M个前1~M列所有元素之和。要求找一个满足这些条件,并且矩阵中的元素都是1~20之间的正整数的矩阵。输入保证有解,而且1≤N,M≤20。
解法:这题的图转换得极妙!(*^▽^*) 我们可以发现找到的矩阵需要满足3个条件:1.N行M列;2.各行各列的和;3.各元素的大小。再仔细阅读一次题目,发现题目中提到的2个数字相同——“20”,再想想这是不是有什么玄机。
首先可以找到第3个条件的转化,可以用容量来限制,那么这题用网络流可以吗?如果用网络流,那对于元素大小限制就建边为容量19的,因为要求为1~20,而又有流量为0,于是我们就把“流量+1”当成 元素的大小。而第1个条件可以直接转化为 n+m 个点表示各行、列,那么第2个条件也是可以通过与源点和汇点连边处理得到的,也就是我们后面博文会提到的“多源多汇问题”。把源点连边到前 n 个点,边容量就是1~n行的元素之和 再-m,因为前面我们已经把各元素的大小转化为“流量+1”了,那么流量就是“大小-1”,每行有m个元素就是 -m 了。同理,把 n+1~n+m 的元素与汇点相连,边容量是1~M列的元素之和 -N。对于各行各列的和的具体分配就是看这 1~n 与 n+1~n+m 的点之间的边流量了,第 i 行第 j 列的元素大小就是点 i 到点 n+j 的边的反向弧的流量+1.
成功建图之后,就跑一遍Dinic再求出矩阵就好了。ノ(^∀^●)ノ
1 #include<cstdio>
2 #include<cstdlib>
3 #include<cstring>
4 #include<queue>
5 #include<iostream>
6 #include<algorithm>
7 using namespace std;
8
9 const int N=25,NN=75,INF=(int)1e9;
10 int st,ed,n,m,len;
11 int last[NN],d[NN],num[N][N];
12 struct edge{int x,y,next,fl;}a[N*N*2];
13 queue <int> q;
14
15 int mmin(int x,int y) {return x<y?x:y;}
16 void ins(int x,int y,int fl)
17 {
18 a[++len].x=x,a[len].y=y,a[len].fl=fl;
19 a[len].next=last[x],last[x]=len;
20 a[++len].x=y,a[len].y=x,a[len].fl=0;
21 a[len].next=last[y],last[y]=len;
22 }
23 bool bfs()
24 {
25 while (!q.empty()) q.pop();
26 memset(d,0,sizeof(d));
27 q.push(st), d[st]=1;
28 while (!q.empty())
29 {
30 int x=q.front(); q.pop();
31 for (int i=last[x];i;i=a[i].next)
32 {
33 int y=a[i].y;
34 if (d[y]||(!a[i].fl)) continue;
35 q.push(y);
36 d[y]=d[x]+1;
37 }
38 }
39 return d[ed];
40 }
41 int dfs(int x,int flow)
42 {
43 if (x==ed) return flow;
44 int sum=0;
45 for (int i=last[x];i;i=a[i].next)
46 {
47 int y=a[i].y;
48 if (d[y]!=d[x]+1||(!a[i].fl)) continue;
49 int t=dfs(y,mmin(flow-sum, a[i].fl));
50 sum+=t;
51 a[i].fl-=t,a[i^1].fl+=t;
52 if (sum==flow) break;
53 }
54 if (!sum) d[x]=0;
55 return sum;
56 }
57 void Dinic()
58 {
59 int sum=0;
60 while (bfs()) sum+=dfs(st,INF);
61 /*for (int i=1;i<=n;i++)
62 {
63 int x=i;
64 for (int k=last[x];k;k=a[k].next)
65 {
66 int y=a[k].y;
67 if (!(y>n&&y<=n+m)) continue;
68 mat[x][y]=a[k^1].fl+1;
69 }
70 }*/
71 }
72 int main()
73 {
74 int T;
75 scanf("%d",&T);
76 for (int kase=1;kase<=T;kase++)
77 {
78 scanf("%d%d",&n,&m);
79 int x,y; st=n+m+1,ed=n+m+2;
80 len=1,y=0;
81 memset(last,0,sizeof(last));
82 for (int i=1;i<=n;i++)
83 {
84 scanf("%d",&x);
85 ins(st,i,x-y-m);//m
86 y=x;
87 }
88 y=0;
89 for (int i=1;i<=m;i++)
90 {
91 scanf("%d",&x);
92 ins(n+i,ed,x-y-n);//n
93 y=x;
94 }
95 for (int i=1;i<=n;i++)
96 for (int j=1;j<=m;j++)
97 {
98 ins(i,n+j,19);
99 num[i][j]=len;
100 //printf("%d %d %d %d\n",i,j,a[num[i][j]].x,a[num[i][j]].y);
101 }
102 Dinic();
103 printf("Matrix %d\n",kase);
104 for (int i=1;i<=n;i++)
105 {
106 for (int j=1;j<=m;j++)
107 printf("%d ",a[num[i][j]].fl+1);
108 printf("\n");
109 }
110 if (kase<T) printf("\n");
111 }
112 return 0;
113 }
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