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题目出处:

https://www.vijos.org/p/1103

题目描述:

一条马路从数轴0到L,每个位置0,1,2,......,L都有一棵树,现需要将一些区间的树清除,区间可能有交集,求清除后还剩下多少棵树?

输入:

输入的第一行有两个整数:L(1 <= L <= 10000)和 M(1 <= M <= 100),L代表马路的长度,M代表区域的数目,L和M之间用一个空格隔开。接下来的M行每行包含两个不同的整数,用一个空格隔开,表示一个区域的起始点和终止点的坐标。

500 3

150 300

100 200

470 471

思路分析:

第一感觉,可以用数组a[10000]来模拟马路上的树,1表示有树,每次操作,则将对应区间所有点改为0,最终统计为1的点,但时间复杂度O(L*M),这明显不是最优的解法;

再仔细一想,每次都是对一个区间进行操作,而且对每一个点的操作都是相同的,所以考虑是否可以批量操作。

对于批量操作区间有线段树,树状树组等算法,本文讨论用线段树来解,树状树组算法以后会详细介绍。

那么问题来了,为什么会想到用线段树来解呢?即线段树能解决哪类问题?

线段树关键点:大区间的操作及结果等价于两个相邻的子区间操作及结果。

每次对马路上的树进行区间操作,如移除区间[a,b]上的树,也等价于移除区间[a,k],[k+1,b](a<=k<=b)上的树;

并且当区间上的树已经移除后,再重复移除也对最终结果无影响

如上图,树中每个节点表示一段区间

每个节点需要记录如下关键信息

left: 区间左起点

right: 区间右终点

count: 区间还剩下的树,初始为right-left+1;

1)更新树时,如果区间在需要操作的范围内,则将区间所有树清除,即count=0,直接返回,不需要再去清除所有子节点;

2)父节点同时更新count值,father.count=lson.count+right.count;

  当父节点已经为0,则说明该区间已经全部被清除,此时左右子节点之和可能不等于0,看1)中并没有去清除子节点;

  所以父节点还是保持0

最终剩下的树即为根节点中的树,即root.count。

C++源码如下:

github: https://github.com/Kyle-Wilson1/Vijos/tree/master/P1103

#include <iostream>
#include <fstream> using namespace std; struct SegmentTree {
int left, right, count;
SegmentTree *lson, *rson;
}; SegmentTree *buildTree(int l, int r) {
if (l > r) {
return nullptr;
}
if (l == r) {
auto *root = new SegmentTree{l, r, 1, nullptr, nullptr};
return root;
}
auto *root = new SegmentTree{l, r, r - l + 1, nullptr, nullptr};
int mid = (l + r) >> 1;
root->lson = buildTree(l, mid);
root->rson = buildTree(mid + 1, r);
return root;
} void removeRegion(SegmentTree *root, int regionLeft, int regionRight) {
if (root->left >= regionLeft && root->right <= regionRight) {
root->count = 0;
return;
}
if (root->right < regionLeft || root->left > regionRight) {
return;
}
removeRegion(root->lson, regionLeft, regionRight);
removeRegion(root->rson, regionLeft, regionRight);
root->count = min(root->count, root->lson->count + root->rson->count);
}

int main() { ifstream fin("a.in");
ofstream fout("a.out"); int l, m, i = 0, regionLeft, regionRight;
fin >> l >> m;
SegmentTree *root;
//build segment tree
root = buildTree(0, l); for (i = 0; i < m; i++) {
fin >> regionLeft >> regionRight;
removeRegion(root, regionLeft, regionRight);
} fout << root->count;
deleteMem(root);
fin.close();
fout.close();
return 0;
}

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