动态规划问题(三)最长递增子序列长度(LIS)
问题描述
有一个数组,它内部的顺序是乱序的,现在要求你找出该数组中的最长的递增子序列长度。
例如:对于数组 {10, 20, 9, 33, 21, 50, 41, 60, 80},它的最长递增子序列为{10, 22, 33, 50, 60, 80},长度为 4
解决思路
DP 方案:
令 \(L(i)\) 表示在 \(i\) 位置最长的递增子序列长度.
当
0 < j < i
并且arr[j] < arr[i]
时,\(L(i)=1 + max(L(j))\) \((j \in [0, i])\)当
i == 0
时, \(L(i) = 1\)因此,状态转移方程为
\[L(i)=\begin{cases}
1 + max(L(j)) & j \in [0, i] \\
1 & i = 0 \\
\end{cases}
\]
贪心策略和二分搜索:
- 定义一个数组,这个数组的元素是单调递增的。
- 贪心策略:每次遇到一个元素将它插入到预先定义的数组中,使得整个数组的增长是最 “缓慢”的。
- 由于插入后数组的元素元素是有序的,因此下次插入时可以使用二分查找进行替换。
实现
DP 方案的实现
public class Solution {
public static int lis(int[] array) {
int len = array.length;
if (1 == len) return 1; // 边界条件 int ans = 1; // 对任意的数组序列,最少的递增子序列长度至少为 1
int[] dp = new int[len];
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i < len; ++i) {
dp[i] = 1;
// 从小于 i 的数组索引中找到最大的递增序列长度
for (int j = 0; j < i; ++j) {
if (array[i] > array[j])
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
} // 与当前的最大递增序列长度进行比较,得到最终的最长递增子序列长度
ans = Math.max(dp[i], ans);
} return ans;
}
}
贪心策略 + 二分搜索的实现
class Solution {
public int lis(int[] array) {
int len = array.length;
if (1 == len) return 1; // 边界条件检测 int ans = 1;
int[] dp = new int[len];
dp[0] = array[0]; // 存储有序插入结果
for (int i = 1; i < len; ++i) {
// 如果当前元素大于定义数组的最大元素,则直接添加它到末尾
if (array[i] > dp[ans - 1]) {
dp[ans++] = array[i];
} else {
// 查找当前元素的插入位置
int lo = 0, hi = ans - 1, pos = 0;
while (lo <= hi) {
int mid = lo + (hi - lo) / 2;
if (dp[mid] == array[i]) {
pos = mid;
break;
} else if (dp[mid] > array[i]) {
hi = mid - 1;
} else {
lo = mid + 1;
pos = lo;
}
} dp[pos] = array[i];
}
} return ans;
}
}
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