问题描述

​ 有一个数组,它内部的顺序是乱序的,现在要求你找出该数组中的最长的递增子序列长度。

​ 例如:对于数组 {10, 20, 9, 33, 21, 50, 41, 60, 80},它的最长递增子序列为{10, 22, 33, 50, 60, 80},长度为 4

解决思路

  • DP 方案:

    令 \(L(i)\) 表示在 \(i\)​ 位置最长的递增子序列长度.

    • 0 < j < i 并且 arr[j] < arr[i] 时,\(L(i)=1 + max(L(j))\) \((j \in [0, i])\)​

    • i == 0 时, \(L(i) = 1\)​

    • 因此,状态转移方程为

      \[L(i)=\begin{cases}
      1 + max(L(j)) & j \in [0, i] \\
      1 & i = 0 \\
      \end{cases}
      \]
  • 贪心策略和二分搜索:

    • 定义一个数组,这个数组的元素是单调递增的。
    • 贪心策略:每次遇到一个元素将它插入到预先定义的数组中,使得整个数组的增长是最 “缓慢”的。
    • 由于插入后数组的元素元素是有序的,因此下次插入时可以使用二分查找进行替换。

实现

  • DP 方案的实现

    public class Solution {
    public static int lis(int[] array) {
    int len = array.length;
    if (1 == len) return 1; // 边界条件 int ans = 1; // 对任意的数组序列,最少的递增子序列长度至少为 1
    int[] dp = new int[len];
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i < len; ++i) {
    dp[i] = 1;
    // 从小于 i 的数组索引中找到最大的递增序列长度
    for (int j = 0; j < i; ++j) {
    if (array[i] > array[j])
    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
    } // 与当前的最大递增序列长度进行比较,得到最终的最长递增子序列长度
    ans = Math.max(dp[i], ans);
    } return ans;
    }
    }
  • 贪心策略 + 二分搜索的实现

    class Solution {
    public int lis(int[] array) {
    int len = array.length;
    if (1 == len) return 1; // 边界条件检测 int ans = 1;
    int[] dp = new int[len];
    dp[0] = array[0]; // 存储有序插入结果
    for (int i = 1; i < len; ++i) {
    // 如果当前元素大于定义数组的最大元素,则直接添加它到末尾
    if (array[i] > dp[ans - 1]) {
    dp[ans++] = array[i];
    } else {
    // 查找当前元素的插入位置
    int lo = 0, hi = ans - 1, pos = 0;
    while (lo <= hi) {
    int mid = lo + (hi - lo) / 2;
    if (dp[mid] == array[i]) {
    pos = mid;
    break;
    } else if (dp[mid] > array[i]) {
    hi = mid - 1;
    } else {
    lo = mid + 1;
    pos = lo;
    }
    } dp[pos] = array[i];
    }
    } return ans;
    }
    }

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