只做理解类记录,哪个知识点忘了去看视频。前四章是概率,看的框框老师。

概率论

1、随机试验:可重复性、可预知性、不确定性
2、样本空间:随机试验E的所有可能结果,记为S或Ω
3、样本点:样本空间中的每一个元素e
4、随机事件:样本空间的子集,简称事件
5、事件发生:子集中某个样本点出现,不需要全部样本点出现
必然事件:整个样本空间
不可能事件:空集 6、事件间的关系与运算:
包含:A发生必然导致B发生,A∈B
并:A或B至少发生一个,A∪B
交:A和B同时都发生,A∩B
差:A发生B不发生,A-B, A-B-C 减谁谁不发生,A-B=A-AB
互斥:AB=∅
对立事件:A拔=B,B拔=A
交换律(顺序调换)、结合律(括号移位)、分配律(括号外的带着符号分别于括号里的配一起,还要加括号)
德摩根律:长杠变短杠(或短杠变长杠),开口变方向 7、概率的定义与性质

    可列:像1、2、3……n……,你说一位,我知道下一位
    不可列:像[0,1],你说一位,我不知道下一位是啥

    P(A)
非负性:P(A)的值域 [0,1]
规范性:P(Ω)=1,P(∅)=0
有限可加性:若A、B互斥,则 P(AUB) = P(A) + P(B)
互补性:P(A拔)= 1 - P(A)
重要公式:
减法公式: P(A-B) = P(A)-P(AB) 如果B是A的子集,则 P(A-B) = P(A)-P(B)
P(AB拔)= P(A-B)
加法公式: P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)
P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) 把AUB看做整体可以推出来
最后一位加奇减偶,AUB是偶要减,AUBUC是奇要加
8、古典概型
有限性:样本点是有限个
等可能性:每个样本点发生概率相等
P(A) = A的样本点个数 / Ω的样本点个数
排列组合:从n个元素中任取r个元素 的取法总数公式。
组合:不讲取出元素间的次序。用长括号上下两个值表示,也用C加两个数字表示。所有组合总数:n!/[r!(n-r)!]
排列:讲次序。 所有排列总数:n!/(n-r)!
9、几何概型
样本空间与几何区域有关(线段、平面、立体)
等可能性:向Ω的区域内任意投一点,落在区域内任何一点的可能性相等。
P(A) = A的长度、面积、体积 / Ω的长度、面积、体积
10、条件概率
事件B在事件A条件下的条件概率: P(B|A) = P(AB) / P(A)
P(B拔|A) = 1 - P(B|A)
P(BUC|A) = P(B|A) + P(C|A) - P(BC|A)
P(B-C|A) = P(B|A) - P(BC|A)
  概率性质直接全加上 |A 就是条件概率的性质
11、乘法公式
P(AB) = P(A)P(B|A)
P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB)
12、全概率公式
完备事件组,也叫划分(划分分法不唯一)。两两互斥,完备性(相加等于全集)。
P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + …… + P(An)P(B|An)
本质是将一个复杂事件,转化为若干个小划分事件,以及相应的条件概率,乘积再相加。复杂事件简单化。
13、贝叶斯公式
已知B发生的条件下,第Ai个小划分事件发生的条件概率
P(Ai|B) = P(AiB) / P(B) = P(Ai)P(B|Ai) / 全概率公式那一大串
14、事件的独立性
P(B|A) = P(B)
P(AB) = P(A)P(B)
P(B|A) = P(B|A拔)
P(B|A拔) = P(B)
P(B|A) + P(B拔|A拔) = 1
有拔无拔对独立没有影响
三事件独立
P(AB) = P(A)P(B)
P(AC) = P(A)P(C)
P(BC) = P(B)P(C)
P(ABC) = P(A)P(B)P(C)
以上四个要同时成立,则三事件相互独立
若事件ABC独立,则A与B的和、差、积、逆 与 C或C拔 均独立
15、伯努利概型
伯努利试验:只有两种结果的试验。
n重伯努利试验:试验 独立地 重复n次。
每次试验概率都相等,用p表示。
n次试验中,事件A发生k次的概率:Pn(k) = Cnk(就是组合的大写C和它两个数字,输入法打不出来) * p^k * (1-p)^(n-k) 也叫二项概率公式 随机变量与分布函数
1、随机变量
函数 X = X(e) 为随机变量,记为RV
分类:离散型随机变量、连续型随机变量、非离散非连续型随机变量
2、分布函数
设X是一个随机变量,x为任意一个实数(自变量),事件{X<=x}的概率是随机变量X的分布函数,记为F(x)
   这个发明的目的就是为了让微积分也能在概率里用
即 F(x) = P{X<=x} 意思是 随机变量X 落在区间(-∞,x] (也叫左方区间)的概率
某点处的概率:P{X=a} = P{X<=a} - P{X<a} = F(a) - F(a-0) F(a-0)表示x从左侧趋近a: limP{X<=x} lim下面是x→a-
区间上的概率:
P{X<=a} = F(a)
P{X<a} = F(a-0)
P{a<X<=b} = P{X<=b} - P{X<=a} = F(b) - F(a)
P{a<X<b} = P{X<b} - P{X<=a} = F(b-0) - F(a)
P{a<=X<=b} = P{X<=b} - P{X<a} = F(b-0) - F(a-0)
     P{a<=Z<b}=F(b-0)-F(a-0), a-0意思是a的左极限,这个式子的意思就是样本点在b的左极限到a的左极限组成的区间里
3、分布函数性质 非负性 0 <= F(x) <= 1 规范性 F(+∞) = 1 , F(-∞) = 0 F(x)为单调不减函数。 由上面区间上的概率可证出。 F(x)为右连续函数。 
4、离散型随机变量 X的取值为有限个或无限可列个时,称X为离散型随机变量 分布律(或叫做概率分布):把X取每个值得概率列成表格 它的分布函数是个分段函数形式,
F(x) = P{X<=x} 中的x依次取分布律中的每个值,然后看X在x的左方区间内碰到几个概率的点,把概率相加,这个值 在 0到1之间。
  5种常见的离散型分布:
    0-1分布(只有两个结果)
    二项分布:前面15讲了。例子:一个医院一天出生的婴儿中,正好有k个男孩的概率。
    泊松分布:X的分布律为 P{X=k} = λ^k*e^(-λ) / k! (k=0,1,2…… λ>0) ,则X符合泊松分布,记为 X~P(λ) (稀有事件概率),是二项分布的极限。 例子:5分钟内车站正好来k个人等车的概率。
    超几何分布:X的分布律为 (三个C组合,输入法写不出来),则X符合超几何分布,记为 H(N,M,n)。 视频的框老师也是产品例子,分母是总体N中取n个样本,分子左边是M个次品中取k个次品,
分子右边是N-M个正品中取n-k的正品。
    几何分布:X的分布律为 P{X=k} = (1-p)^(k-1)*p (k=0,1,2……), 则X符合几何分布,记为 X~G(p)。 总共做了k次试验,第k次才成功,前面全失败,这就是首次成功的概率,
没成功就一直试验。例子:一个医院一天出生的婴儿中,第一个男孩出现的概率。
5、连续型随机变量
X的分布函数为 F(x) = ∫f(t)dt (∫上面是x,下面是-∞,f(x)>=0),则X为连续型随机变量。f(x)为X的概率密度函数,简称密度函数。
这里F(x)是连续函数
若f(x)在x点连续,则F(x)的导数为f(x)。 即分布函数的导数等于密度函数。
F(x)图像上是定积分那个图像面积。但这个面积的总体值为1。
密度函数f(x)的性质:
非负性:f(x)>=0 (可保证f(x)=F`(x)>=0 → 因为 F(x) 单调不减,所以要规定f(x)>=0)
规范性:∫f(t)dt =1(∫上面是+∞,下面是-∞)
某点处的概率:P{X=a} = P{X<=a} - P{X<a} = F(a) - F(a) = 0 (因为F(x)是连续函数所以这里不是-F(a-0)而是-F(a))
区间上的概率:可以随意添加等号,因为是连续函数 P{a<X<b} = P{a<X<=b} = P{a<=X<=b} = ∫f(x)dx(∫上面是a,下面是b) 。所以区间上的概率等于定积分,也就是面积。
几个常见的连续型分布:
均匀分布:当X的密度函数f(x)= 分段函数——当 a<x<b时=1/(b-a);其他情况=0。则X服从均匀分布,记为X~U(a,b)
指数分布:当X的密度函数f(x)= 分段函数——当 x>0时=λ*e^(-λx);x<=0时=0。其中λ>0。则X服从指数分布,记为X~e(λ)
这个主要用于寿命分布,比如电池寿命等。
X的分布函数为 F(x)= 分段函数——当 x>0时=1-e^(-λx);x<=0时=0
X具有无记忆性:P{X>t0+T|X>t0}=P{X>T} 老电池已经使用t0小时的情况下,它再使用T小时的概率=新电池能使用T小时的概率。
正态分布:当X的密度函数f(x)= 输入法不好写自己查吧,-∞<x<+∞,则称X服从正态分布,记为X~N(μ,σ^2),其中σ>0
μ决定左右,是位置参数,σ决定高低,是形状参数,σ越小图形越尖。
标准正态:μ=0,σ=1 N(0,1)
标准化:(X-μ)/σ这样X就变成标准正态了。
上α分位点:这一点(μα)右边的面积为α,即P{X>μα}=α,就是概率为α
6、随机变量函数的分布:讲的都是解题方法,有需要看视频
离散型变量函数的分布
连续型随机变量函数的密度函数 多维随机变量及其分布
1、二维随机变量:随机试验E有样本空间Ω,X,Y都是定义在Ω上的随机变量,则称(X,Y)为二维随机变量。(X和Y写成了向量形式,原来括号一直都是向量的表达)
2、联合分布函数:F(x,y) = P{X<=x,Y<=y} 意味着两个事件同时发生的概率
F(x,y)几何意义是 (X,Y)落在点(x,y)的左下方的概率。
性质:
非负性:0 <= F(x,y) <= 1
F(x,y)是单调不减函数
规范性:F(-∞,-∞)=0,F(-∞,y)=0,F(x,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1 前三个有空集,空集和谁相交都是空
右连续性:F(x,y)关于x是右连续的,关于y也是右连续的。
3、二维离散型随机变量
当(X,Y)的取值为有限个或可列无限个时,称(X,Y)为二维离散型随机变量
联合分布律:X所有取值放第一列,Y所有取值放第一行,组成表格,表格里内容就是同时取到xi和yi的概率。
P{X=xi,Y=yi} = Pij i=1,2……,j=1,2……
性质:
非负性:每个概率都>=0
规范性:表格里所有概率加起来等于1
4、二维连续型随机变量
(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y) = ∫∫f(u,v)dudv (第一个∫上面是x,下面是-∞,第二个∫上面是y,下面是-∞,f(x,y)>=0),则(X,Y)为二维连续型随机变量。f(x,y)为(X,Y)的联合密度函数。
联合密度函数f(x,y)的性质:
非负性:f(x,y)>=0
规范性:∫∫f(x,y)dxdy = 1 (第一个∫上面是+∞,下面是-∞,第二个∫上面是+∞,下面是-∞)
若f(x,y)在点(x,y)处连续,则 F(x,y)的二阶偏导 = f(x,y) (二阶偏导输入法写不出来,文字代替了)
区域概率:P{(X,Y)∈D} = ∫∫f(u,v)dudv (∫∫下面有个D) (前面一维的是区间上的概率等于定积分,这个是区域上的概率=区域上的二重积分)
2个常见的二维连续型分布:
二维均匀分布:当(X,Y)的密度函数f(x)= 分段函数——当 (x,y)∈D时=1/面积;其他情况=0。则(X,Y)服从二维均匀分布,记为(X,Y)~U(D)
二维正态分布: f(x)= 太长了自己查吧。记为(X,Y)~N(μ1,μ2,σ1^2,σ2^2,ρ)
二维正态分布图形是个钟形,像隆起的山。
ρ的含义:刻画X与Y的相关关系
5、边缘分布
边缘分布函数:在联合分布函数F(x,y)的条件下,只考虑其中一个变量:
只考虑X,则 F_X(x) = P{X<=x} = P{X<=x,Ω} = P{X<=x,Y<+∞} = F(x,+∞) 为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数(F_X的X是下标,这里输入法打不出来)。
同理Y的是 F(+∞,y)
边缘分布律:在联合分布律的基础上,则 P{X=xi} = P{X=xi,Ω} = …… = Pi. 为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律。
比如取表格里x3这行,那概率P{X=x3}=表格里x第三行所有概率的和,记为P3. ,这就是X的边缘分布律。
同理Y的是 P{Y=yj} = Pj. ,就是表格里第j列所有概率相加。
(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),则
f_x(x)=∫f(x,y)dy (∫上面是+∞,下面是-∞) 为(X,Y)关于X的边缘密度函数;
f_y(y)=∫f(x,y)dx (∫上面是+∞,下面是-∞) 为(X,Y)关于Y的边缘密度函数;
6、条件分布
条件分布律:离散型(X,Y)的联合分布律P{X=xi,Y=yi}(前面3里的),
固定Y=yj,当P{Y=yj}不等于0时,称P{X=xi|Y=yi}=P{X=xi,Y=yi}/P{Y=yj}=Pij/Pj为X在Y=yj条件下的条件分布律。
固定X=xi,当P{X=xi}不等于0时,称P{Y=yi|X=xi}=P{X=xi,Y=yi}/P{X=xi}=Pij/Pi为Y在X=xi条件下的条件分布律。
即 条件分布 = 联合分布/边缘分布
条件密度函数:
(X,Y)的概率密度为f(x,y)(前面4里的),
固定Y=y,当f_Y(y)不等于0时,称f_X|Y(x|y)=f(x,y)/f_Y(y) 为X在Y=y条件下的条件密度。
固定X=x,当f_X(x)不等于0时,称f_Y|X(y|x)=f(x,y)/f_X(x) 为Y在X=x条件下的条件密度。
f_X|Y(x|y)=f(x,y)/f_Y(y) 是x的一元函数
规范性:∫f_X|Y(x|y)dx=∫f(x,y)/f_Y(y)dx=1 (两个都是∫上面是+∞,下面是-∞)
7、随机变量的独立性
F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数,F_X(x),F_Y(y)分别为X与Y的边缘分布函数,若F(x,y)=F_X(x)F_Y(y),则随机变量X与Y相互独立。
当(X,Y)为离散型随机变量时,X与Y独立 能互相推出 P{X=xi,Y=yi} = P{X=xi}P{Y=yj}
当(X,Y)为连续型随机变量时,X与Y独立 能互相推出 f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)
8、两个随机变量函数的分布:讲的都是解题方法,有需要看视频
两个离散型随机变量函数的分布
两个连续型随机变量函数的分布
利用卷积公式求 Z=X+Y 的密度
两个变量最值函数的分布 随机变量的数字特征
1、数学期望:
离散型随机变量的数学期望
随机变量X的分布律为 表格中x1,x2……xk对应的概率时p1,p2……pk,则x1*p1+x2*p2+……xk*pk = E(X)为X的数学期望
离散期望=取值乘概率再求和
若Y=g(X),则E(g(X)) = g(x1)*p1+g(x2)*p2+……g(xk)*pk 为 Y=g(X)的数学期望
若Z=g(X,Y),则E(g(X,Y)) = g(x1,y1)*p1+g(x2,y2)*p2+……g(xk,yk)*pk 为g(X,Y)的数学期望
连续型随机变量的数学期望
连续期望=取值乘密度再积分
也是有三种数学期望
期望的性质
设C为常数,E(C) = C
E(C*X) = C*E(X)
E(X+Y) = E(X) + E(Y)
若X与Y独立,则E(X*Y) = E(X)*E(Y)
2、方差
设X为随机变量,方差 D(X) = E[ (X-E(X))^2 ]
D(X)表示X与E(X)的偏离程度
D(X)>=0
计算公式:D(X) = E(X^2) - E^2(X)
性质:
设C为常数,D(C) = 0
D(CX) = C^2 * D(X)
D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2[E(XY)-E(X)E(Y)]
     D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2COV(X,Y) 前面都是加,只有后面跟着变符号
若X与Y独立,则D(X+Y) = D(X) + D(Y)
若D(X)=0,则P{X=E(X)}=1
3、常见分布的期望与方差
01分布:E(X) = p , D(X) = p(1-p)
二项分布:E(X) = np , D(X) = np(1-p)
泊松分布:E(X) = λ , D(X) = λ
均匀分布:E(X) = (a+b)/2, D(X) = (b-a)^2/12
指数分布:E(X) = 1/λ , D(X) = 1/λ^2
正态分布:E(X) = μ , D(X) = σ^2

框框老师没讲完,下面时B站宋浩老师的课堂笔记,把概率论知识补充完整。

1,协方差,就是方差D(X+Y)后面那个E(XY)-EXEY。D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2COV(X,Y)
想求协方差,就要先求期望,离散期望等于取值乘概率再求和,连续型期望等于取值乘密度作为被积函数求定积分。
协方差性质:
COV(ax,by)=abCOV(x,y),常数能提出来。
COV(x1+x2,y)=COV(x1,y)+COV(x2,y)
COV(a,y)=0
X,Y独立,COV(X,Y)=0
协方差反映两变量之间的关系,它受单位影响,比如变化0.1米和10厘米,对协方差来说差别就很大。 2,相关系数,等于协方差除以两个标准差,它衡量的是两个变量之间有没有线性关系,如果相关系数的绝对值等于1,这两个变量就有线性关系(直线才是线性关系,曲线不是)。
相关系数=1,说明线性关系的斜率为正。
相关系数=-1,说明斜率为负。
相关系数接近0,说明线性关系弱,
相关系数=0,说明不存在线性关系。 3,原点距:EX^k,以原点0为中心
中心距:E(E-EX)^k,就是以EX为中心。 4,切比雪夫大数定律,意思是在实验次数足够多的情况下,所有实验样本的均值,收敛于所有实验样本期望的均值。
大数定律告诉我们,也是大量实验情况下,用实验样本的平均数,来逼近它的期望,这事儿靠谱。 5,中心极限定理,意思是大量独立同分布的变量和,的极限分布,是正态分布。应用场景就是大量实验样本之和,把这个和小于等于某个值的概率,转化为参数为某个值的标准正态分布,就可以直接查表得出概率了。
二项分布也能用正态分布来近似。
做题时把条件凑成中心极限定理的样子,就能用标准正态写答案了。

至此,概率讲完,开始讲数理统计。

第一章 样本及抽样分布
1、总体抽样出样本。 这属于归纳推理
总体:就是个体具有的数量指标的全体。(每个个体有一项或几项数量指标)
随机分布:数量指标在总体中的分布。
所以,总体在抽象的概念上就是一个概率分布。
2、样本中包含的个体数目,叫做样本容量。
假如容量为n,样本就可以表示为n维随机变量。这n个具体的数叫做样本观察值。
3、怎么抽?
默认是简单随机抽。他有两个特点:
代表性:能代表总体分布。(同分布)
独立性:样本(个体的指标)之间不能同质化。
4、接下来是对样本观察值的操作
不含任何未知参数的样本的函数(对样本观察值的加工),就是统计量(也叫随机变量)。
常用的统计量如下

样本均值
样本方差、标准差(样本方差为什么除以n-1而不是n,是为了保守,所以让误差大一点,因为除以n-1的商肯定比除以n要大一点)
样本k阶原点距
样本k阶中心距

5、抽样分布:就是看总体是啥分布,决定抽样时用啥分布。
正态
卡方:多个独立同标准正态分布的样本的平方之和,是卡方分布。卡方分布的期望是n,方差是2n。n越大(大于2才有突出来的峰),卡方分布的峰越往右,它也越接近正态分布。下图是几个重要定理:

Zα 叫做分位点 (老师举了考研录取的例子,分位点就是那个录取分数线)。
其中α是个面积值(上面说了连续型随机变量中,面积总体值是1,在录取例子里,α就是录取比例,0.1)。
一般,下分位代表分位点左边,上分位是右。
卡方分布的重要例题:下图(2)里。就是先化标准正态,再套公式,最后查表得到想要的值。

T分布
当n大于30,也是接近正态分布。它也有分位点,做题时也是先标准化成标准正态,套公式,查表。

F分布,也是一个套路

7、正态总体下的抽样分布

第二章 参数估计
1,估计的是各种分布里的参数,通过抽样,构造出函数,来估计那些分布里的参数。
估计值用带hat的参数表示。
分布里的参数都是用期望EX和方差DX表示的,DX也可由EX推出。因此只要求出总体的EX就行,我们又无法获取总体,比如统计身高,样本里1.75的最多,你猜μ是几,那肯定猜是1.75,这就是参数估计,其实就是猜,所以要猜总体EX,就用样本估计总体的EX,于是就规定用第一章4里的样本原点矩=总体的EX,比如正态时EX就是μ,泊松分布时EX就是λ,等等,这些参数是估计(猜)出来的,要加hat。(这种猜法叫矩估计。或者用样本中心矩推别的参数,比如正态分布里的方差。总之样本的两个矩需要几阶就用几阶)
2,用矩估计的前提是总体矩存在,矩估计结果也可能不唯一,因此我们可以用更好的估计方法:极大似然估计。
极大似然:学生和教官打靶,只有一个人打中了,我猜是教官打中的,这就叫极大似然。
极大似然用函数L表示,它是概率连乘,入参就是需要估计的参数,求L最大值,就是取什么参数,能使样本发生的概率最大。
做题套路如下

如果L有两个参数,前面还是这套路,最后要求两个偏导,以正态为例,如下

3,点估计的优良准则:前面讲的两种估计方法,估计的到底好不好,有衡量准则。准则有3个:
无偏性:估计的参数的期望等于实际参数
有效性:方差越小越有效
一致性:样本数量n取的越多,估计值和真实值就越接近。
4,前面讲的是点估计,现在讲区间估计。
要估计的参数是Θ,它是个确定的值,但不知道是多少,就给它再估计个区间,使Θ落在这个区间的概率达到“1-α”(这叫置信度,就是个概率)。这个区间就叫置信区间。
如果把要估计的参数Θ,再用个函数包装一下,这个函数叫做枢轴变量。包装时,只能引入已知的值,这个函数的分布也是已知的。原来是估计Θ的区间,现在是估计这个枢轴变量的区间。最后通过转换,得出Θ的区间。
下面估计参数都是估计正态的两个参数。所以叫总体正态分布下的啥啥啥

图片例题中,是对于正态分布的两个参数的估计。这里σ已知,来估计谬的区间,如果它未知,用标准差代替σ。
此外,还可以讨论μ已知和未知,来估计σ的区间,这也叫方差估计。
接下来总结一下正态分布下,估计区间的枢轴变量和置信区间。做题直接套公式

第三章 假设检验
1,这个也是总体正态分布下的。
总体分布未知有两种,分布类型未知,参数未知。那我猜它是某个类型(非参数假设),或猜它的参数是某个值(参数假设)。假设检验就是检验我猜的对不对。
H是假设单词首字母,比如电池平均寿命1500小时,新工艺抽样的平均寿命1600小时,问工艺提高是否有效?H0为原假设(不能轻易推翻),表示没提高,还是μ=1500,H1为备择假设(推翻原来想法的新想法),表示提高了,是μ>1500。
2,假设检验用了两个概念,逻辑上的反证法,统计学的“小概率事件不发生”原理。做题时先假设H0是对的,然后去看小概率事件是否发生了,如果发生了,说明H0这个假设错了,就只能接受H1。关键步骤是样本均值正态,正态标准化,给α定个概率,求检验统计量U的绝对值。举例如下:

基本思想如下

做题步骤如下:
第一步,提出H0,H1
第二步,假定H0成立,取统计量T~已知分布
第三步,给阿尔法,P{(X1…Xn)属于W}=α
第四步,由样本(X1…Xn)求出T的值
  若(X1…Xn)属于W,则拒绝H0
  若(X1…Xn)属于W拔,则接受H0
 
两类错误:由于样本问题,假设检验也可能出错。
弃真:H0是真的,但被拒绝掉了。
取伪:H0是假的,但被接受了。
3,总体正态分布下,在参数已知或未知的情况下,检验H0假设是不是违反了小概率不发生原理。
做题也是那四步:
确定原假设和备择假设,用公式取统计量U,给定α,得到拒绝域,计算U的值(就是把数代入第二步的公式里实际算出U等于几),与U_α/2比较。
不论是双边的还是单边的,只是拒绝域有差别,步骤都一样。
单边双边例题解法如下

上面都是σ^2已知的情况下,用U检验法,下面讲σ^2未知的情况,它用标准差代替了未知的σ,正态分布变成了t分布。
单边双边共三种情况的解题步骤如下

前面是U检验法,这里是T检验法。
下面再总结一下,做题直接套

接下来讲σ^2未知的假设检验,也是直接套

最后讲的是两个总体正态分布,他们两个的参数是否一致,先假设,再检验假设

具体做题

表格总结

最后是方差差异检验步骤和例题

终于学完了!

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