洛谷 2197 nim游戏

题目描述

甲，乙两个人玩Nim取石子游戏。

nim游戏的规则是这样的：地上有n堆石子（每堆石子数量小于10000），每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手，且告诉你这n堆石子的数量，他想知道是否存在先手必胜的策略。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数T<=10,表示有T组数据

接下来每两行是一组数据，第一行一个整数n，表示有n堆石子，n<=10000;

第二行有n个数，表示每一堆石子的数量

输出格式：

共T行，如果对于这组数据存在先手必胜策略则输出”Yes”,否则输出”No”，不包含引号，每个单词一行。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2

2

1 1

2

1 0

输出样例#1： 复制

No

Yes

题解

nim游戏，经典博弈论。我们先给出一个结论：
对于一个Nim游戏的局面(a1,a2,...,an)，它是先手必败当且仅当a1^a2^...^an=0。
证明：1、当没有石子时先手显然必败，此时满足0^0^0^…^0=0。
    2、当a1^a2^a3^...^an=k (k!=0) 时，则一定存在
    某个ai ，使得它的二进制表示在k的最高位上是1，所以我们设ai' = ai^k,(ai'一定小于ai)
    此时a1^a2^...^ai'^...^an=a1^a2^a3^...^an^k=0。
    3、当a1^a2^...^an=0时，一定不存在某个合法的移动，
    将ai变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。因为如果这样，
    那么a1^a2^...^an=a1^a2^...^ai'^...^an=0。
    消去两边，得：ai=ai'，这显然不可能。

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int MAXN = 10005;

int a[MAXN],T,n;

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int ans=0;
        scanf("%d",&n);
        for(register int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            ans^=a[i];
        }
        if(ans!=0) cout<<"Yes"<<endl;
        else cout<<"No"<<endl;
    }
    return 0;
}