全网一定不是最好懂的C++线性筛素数

Part 0:概念

先给几个概念（很重要）：

• 合数：如果\(xy=z\text{且}x,y\text{为正整数}\)，我们就说\(x,y\text{是}z\text{的合数}\)
• 素数：如果数\(a\)的合数只有\(1,a\)，则\(a\)就是一个素数
• 整除：整数\(b\)除以非零整数\(a\)，商为整数，且余数为零， 我们就说\(b\)能被\(a\)整除，记做\(a | b\)。数学中，求一个数的余数的运算叫做取余，用\(a MOD b\)表示求a除以b的余数，计算机中用%
  
  当然，如果有\(a | b\)，那么我们可以写成\(a MOD b = 0\)
• 不含0,1的所有自然数除了素数就是合数

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Part 1:普通筛法及优化到根号

首先，从普通筛法开始：

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
    return 0;
}

判断一个数是不是素数，就从他的定义入手

定义是啥？回顾一下：

如果数\(a\)的合数只有\(1,a\)，则\(a\)就是一个素数

再次回顾合数的概念：

如果\(xy=z\text{且}x,y\text{为正整数}\)，我们就说\(x,y\text{是}z\text{的合数}\)

我们知道，不含0的所有自然数不是素数就是合数，而我们算法的名字叫做筛素数，而素数的定义离不开合数

干脆，我们把合数筛掉吧！

我们从\(xy=z入手\)。显然，\(x,y,z \ neq 0\)，可以大胆的除一下：\(x = \frac{z}{y}\)

如果你比较熟悉开头的那些定义，你就会发现：因为\(x\)是个正整数，所以\(z | y\)，也就是\(z MOD y = 0\)

这个地方可以好好理解一下

那么，我们开始填充代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
    bool flag = 1;//素数判断标签
    int n = 10;//n代表我们需要筛从1~n的素数
    for(int i = 2;i <= n;i ++){//很重要！公式中的z（也就是这里的i）要从2开始，想想为什么
        //cout << "i = " << i << endl;
		for(int j = 2;j < i;j ++){//很重要！想想为什么公式中的y（也就是这里的j）为什么从2开始，为什么要比i小？
			//cout << "进入二层循环,j = " << j << endl;
            if(i % j == 0){//如果是合数
                flag = 0;
                //cout << "i % j = " << i%j << endl;
                //cout << "二层循环if,i = " << i << "j = " << j << endl;
                break;
            }
        }

        if(flag) cout << i << endl;//否则输出
        flag = 1;//小细节~自己模拟一下
    }
}

好的，代码是出来了

可以更快吗？当然可以

我举个例子：36。

36的因数有：{1,36},{2,18},{3,12},{4,9},{6,6}

把36的因数排个序：{1,2,3,4,6},{6,9,12,18,36}

以6为分界线，我们可以把它分为了两份，请注意：

\(\sqrt{36} = 6\)

哇塞！我们只需要循环到\(\sqrt{n}\)我们就可以结束了（因为因数是两两对应的(如果不考虑去重（比如49的因数表暂时定为：1,7,7,49)))

改进一下：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main(){
    bool flag = 1;//素数判断标签
    int n = 10;//n代表我们需要筛从1~n的素数
    for(int i = 2;i <= sqrt(n);i ++){//很重要！公式中的z（也就是这里的i）要从2开始，想想为什么
        cout << "i = " << i << endl;
		for(int j = 2;j < i;j ++){//很重要！想想为什么公式中的y（也就是这里的j）为什么从2开始，为什么要比i小？
			cout << "进入二层循环,j = " << j << endl;
            if(i % j == 0){//如果是合数
                flag = 0;
                cout << "i % j = " << i%j << endl;
                cout << "二层循环if,i = " << i << "j = " << j << endl;
                break;
            }
        }

        if(flag) cout << "------" << i << endl;//否则输出
        flag = 1;
    }
}

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Part 2 真正的筛——埃式筛

刚才那个算法的思想再怎么说，也是个取素数

但是，判断合数显然比判断素数更简单

那么，为什么不把合数筛走，剩下的不就是素数了吗？

好办法！接下来我们想下怎么筛

其实啊，可以发现某一个不为0/1的数 × 另一个不为0/1的数 = 合数

那么，假设有一个数\(q\)，我们只需要筛掉\(1q,2q,3q\text{……一直到}iq>n\)时，接着q++，继续筛！

上代码：

#include <iostream>
//代码来自https://www.cnblogs.com/Return-blog/p/12307038.html
using namespace std;
bool book[1000000];//素数标记盒子
int main(){  //求1~100以内的素数
    for(int i=2;i<=100;i++)
        if(!book[i]){//因为book数组在main()外部自动填充为0，所以需要!0转换为11
            for(int j=i+i;j<=100;j+=i)//q,2q,3q,4q...
                book[j]=1;//标记上1的就是合数了！
        }
    for(int i=2;i<=100;i++)
        if(!book[i]) cout << i << endl;//是0就输出~
    return 0;
}

哦太棒了！

但是！请你自己模拟一下这个过程，你会发现个奇怪的过程拖慢了速度！

当i = 2 => 2i=4,3i=6,4i=8...

当i = 3 => 2i=6,3i=9,4i=12...

当i = 4 => 2i=8...

Oh No！又开始重复了！

重复怎么办？再筛掉！

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Part 3:线性筛

//代码来自https://www.cnblogs.com/Return-blog/p/12307038.html
#include <iostream>
using namespace std;

bool book[20005];
int prime[20005],pos,i,j;
int main(){  //求1~100以内的素数
    for(i=2;i<=100;i++){
        if(!book[i]) prime[++pos]=i; //判断是否被筛过。!0（没有）的话，就记录一下，
        for(j=1;j<=pos;j++){
            if(i*prime[j] > 100) break; //范围：不让他超过i，超过就break
            book[i*prime[j]]=1; //i乘上素数得到的书就标记下，筛过了！
            if(i%prime[j]==0) break; //！！！prime数组 中的素数是递增的,当 i 能整除 prime[j]，那么 i*prime[j+1] 这个合数肯定被 prime[j] 乘以某个数筛掉 想想为什么
        }
    }
    for(int i=1;i<=pos;i++)
        cout << prime[pos];
    return 0;
}

Oh太棒了！你终于搞到了最快的方法

最后送你个福利：证明一下为什么：当 i 能整除 prime[j]，那么 i*prime[j+1] 这个合数肯定被 prime[j] 乘以某个数筛掉

首先，prime数组中的素数是递增的（这个不用说）

因为i中含有prime[j],prime[j]比prime[j+1]小

即\(i=k\times prime[j]\)

那么\(i\times prime[j+1]=(k\times prime[j])\times prime[j+1]\)

也就是\(k’\times prime[j]\)

看不懂没关系，板子背下来就好了~