基于Noisy Channel Model和Viterbi算法的词性标注问题

给定一个英文语料库，里面有很多句子，已经做好了分词，/前面的是词，后面的表示该词的词性并且每句话由句号分隔，如下图所示

对于一个句子S，句子中每个词语$w_i$标注了对应的词性$z_i$。现在的问题是，再给定一个句子S‘，生成每个词$w'_i$的词性$z'_i$

也就是要求使得概率$P(Z|S)$最大的$Z$，由贝叶斯定理可得

\[\begin{align*}
P(Z|S)&=\frac{P(S|Z)P(Z)}{P(S)}\\
&\propto P(S|Z)·P(Z)\\
&=P(w_1,w_2,...,w_N|z_1,z_2,...,z_N)·P(z_1,z_2,...,z_N)\\
&=\prod_{i=1}^{N}P(w_i|z_i)·P(z_1)P(z_2|z_1)···P(z_N|z_{N-1})\\
&=\prod_{i=1}^{N}P(w_i|z_i)·P(z_1)\prod_{j=2}^NP(z_j|z_{j-1})
\end{align*}
\]

其中，倒数两行的公式推导过程中，使用了如下两个假设：

HMM假设，即$w_i$仅与$z_i$相关，与其它所有单词或词性相互独立。因此$P(w_1,...,w_N|z_1,...,z_N)$可化简为$\prod_{i=1}^{N}P(w_i|z_i)$
假设Language Model为bigram。因此$P(z_1,...,z_N)$可写成$P(z_1)P(z_2|z_1)···P(z_N|z_{N-1})$，即$P(z_1)\prod_{j=2}^NP(z_j|z_{j-1})$

由于整个式子存在大量的概率连乘，最终可能导致浮点数下溢，为了避免这种情况，我们可以采用取对数的方法，将乘变加，基于上述思想，式子结果最终转化为

\[\begin{align*}
P(Z|S)&=log(\prod_{i=1}^{N}P(w_i|z_i)·P(z_1)\prod_{j=2}^NP(z_j|z_{j-1})\\
&=\sum_{i=1}^Nlog(P(w_i|z_i))+logP(z_1)+\sum_{j=2}^NlogP(z_j|z_{j-1})
\end{align*}
\]

确定参数

最终的概率函数中包含三个可变参数，下面分别解释其含义

第一个参数：$A=P(w_i|z_i)$

参数$A$表示，在给定词性$z_i$的情况下，其对应的单词是$w_i$的条件概率，即所有被标记为词性$z_i$的单词中，单词$w_i$的占比

\[P(w_i|z_i)=\frac{词性为z_i的w_i的数量}{词性为z_i的单词总数}
\]

举例来说，假设现在先给定词性NN(名词)，其中对应单词是apple的概率肯定要高于eat，即$P(apple|NN)>P(eat|NN)$

为了后面计算方便，我们把参数$A$的取值空间存放在一个N行M列的矩阵中，其中N为语料库中不同词性的数量，M为语料库中不同单词的数量。矩阵的每一行表示一个词性，每一列表示一个单词，矩阵元素$a_{ij}$表示在所有词性为$i$的单词中，单词$j$的占比（即条件概率），由此可知，同一行中所有所有概率之和为1，即$\sum_{j=1}^Ma_{ij}=1$

计算矩阵A很简单，首先定义一个大小为$N\times M$的全0矩阵，然后遍历语料库中的每一行单词/词性，将矩阵对应中对应的"当前遍历到的词性"行和"当前遍历到的单词"列位置的数值加1

最后进行归一化，因为到目前为止矩阵中存的是count，而我们需要的probability，所以用每个元素除以所在行元素之和即可

最终得到的参数$A$矩阵的一般形式如下图所示

第二个参数：$\pi=P(z_i)$

参数$\pi$表示句首词性是$z_i$的概率，即计算所有在句首的词性中$z_i$的占比

\[P(z_i)=\frac{句首词性是z_i的数量}{句首词性总数量}
\]

举例来说，一般句首是NN(名词)的概率要高于VB(动词)，即$P(NN)>P(VB)$

参数$\pi$的取值范围可以保存在一个长度为$N$的向量中，$N$为语料库中不同词性的数量。可以推知，此向量的元素之和为1，即$\sum_{i=1}^NP(i)=1$

首先用0初始化向量$\pi$，长度为$N$。然后遍历语料库中的每一行单词/词性，判断当前单词是否在句首，判断的依据是看前一个单词是否是句号、感叹号、问号等终止性标点符号。如果是句首，则取出当前词性，并将向量中对应"当前遍历到的词性"位置的数值加1

最后进行归一化，用每个元素除以向量所有元素之和，即得到占比（概率）

第三个参数：$B=P(z_i|z_{i-1})$

参数$B$表示给定前驱词性为$z_{i-1}$，当前词性为$z_i$的条件概率，即计算在前驱词性为$z_{i-1}$的(前驱词性,当前词性)组合对中，当前词性为$z_i$的组合对的占比

\[P(z_i|z_{i-1})=\frac{当前词性为z_{i-1}且前驱词性为z_i的bigram数量}{前驱词性为z_i的bigram总数}
\]

举例来说，对于给定的前驱词性VB(动词)，当前词性为NN(名词)的概率要高于VB(动词)，即$P(NN|VB)>P(VB|VB)$

参数$B$是一个$N\times N$的矩阵，$N$为语料库中不同词性的数量。矩阵的行表示前驱词性，列表示当前词性，矩阵元素$b_{ij}$表示前驱词性为$i$时，当前词性为$j$的条件概率，由此可知同一行中所有元素之和为1，即$\sum_{j=1}^Nb_{ij}=1$

矩阵$B$的计算很简单，首先定义一个大小为$N\times N$的全0方阵。然后遍历语料库，统计词性序列的bigram，将方阵中对应的"前驱词性"行和"当前词性"列位置的数值加1

最后进行归一化，用每个元素除以所在行元素之和，即得到所在行占比（概率）

tag2id, id2tag = {}, {} # tag2id: {"VB":0,...}, id2tag: {0:"VB",...}

word2id, id2word = {}, {}

for line in open('traindata.txt'):

    items = line.split('/')

    word, tag = items[0], items[1].rstrip() # 去掉换行符

    if word not in word2id:

        word2id[word] = len(word2id)

        id2word[len(id2word)] = word

    if tag not in tag2id:

        tag2id[tag] = len(tag2id)

        id2tag[len(id2tag)] = tag

N = len(tag2id) # number of tags

M = len(word2id) # number of words

print(N, M)

# define pi, A, B

import numpy as np

pi = np.zeros(N) # pi[i] 表示tag i出现在句子开头的概率, vector

A = np.zeros((N, M)) # A[i][j] 表示给定tag i, 出现word j的概率, matrix

B = np.zeros((N, N)) # B[i][j] 表示前一个是tag i, 后一个是tag j的概率, matrix

pre_tag = -1 # 记录前一个tag的id

for line in open('traindata.txt'):

    items = line.split('/')

    wordid, tagid = word2id[items[0]], tag2id[items[1].rstrip()]

    if pre_tag == -1: # 这意味着是句子的开始

        pi[tagid] += 1

        A[tagid][wordid] += 1

        pre_tag = tagid

    else: # 不是句子开头

        A[tagid][wordid] += 1

        B[pre_tag][tagid] += 1

    if items[0] == '.':

        pre_tag = -1

    else:

        pre_tag = tagid

# normalize

pi /= sum(pi) # probability

for i in range(N):

    A[i] /= sum(A[i])

    B[i] /= sum(B[i])

计算最优解

通过前面的分析，我们已经确定了三个参数及其取值空间，接下来可以用暴力枚举的方法测试出使得目标函数最大的参数取值，但时间复杂度太高，不建议采用

通过分析，我们发现这是一个最优化问题，而且问题的求解可以分为$T$个步骤（$T$为测试集的文本长度），每个步骤求解方式相同，符合动态规划算法的应用场景

设

\[score=\sum_{i=1}^TlogP(w_i|z_i)+logP(z_1)+\sum_{j=2}^TlogP(z_j|z_{j-1})
\]

我们的目标是对于给定的文本$S=w_1w_2...w_T$，给这$T$个单词分别赋予一个词性（有$N$个可选词性），使得score的值最大。score的计算过程描述如下

图中黑点给出了一个示例的标记方案（如同一条路径）：

$w_1$被标记为$pos_2$
$w_2$被标记为$pos_1$
$w_3$被标记为$pos_3$
...
$w_T$被标记为$pos_T$

该路径的score值为

\[\begin{align*}
score &= logP(w_1|pos_2)+logP(pos_2)\\
&+logP(w_2|pos_1)+logP(pos_1|pos_2)\\
&+logP(w_3|pos_3)+logP(pos_3|pos_1)\\
&+...\\
&+logP(w_T|pos_1)+logP(pos_1|pos_3)
\end{align*}
\]

从上式可以看出，score的求解过程分为$T$个步骤，每个步骤有$N$种选择。因为我们可以定义一个$T\times N$的二维数组DP，为了描述的方便，我们假设数组的下标从0开始，其中元素DP[i][j]表示从第一个单词开始，当计算到第$i$个单词（第$i$步）且将词性标记为$j$时的最优路径（最大概率）

状态转移方程为

\[\begin{align*}
DP[i][j]=max(&\\
&dp[i-1][0]+logB[0][j]+logA[j][w_i在词典中的下标],\\
&dp[i-1][1]+logB[1][j]+logA[j][w_i在词典中的下标],\\
&dp[i-1][2]+logB[2][j]+logA[j][w_i在词典中的下标],\\
&...\\
&dp[i-1][N-1]+logB[N-1][j]+logA[j][w_i在词典中的下标],\\
)
\end{align*}
\]

最终答案（最大的概率值），就是max(DP[T-1][0],DP[T-1][1],...,DP[T-1][N-1])。但是光有概率不够，我们还需要记录，这个概率是通过怎样的路径过来的，这个路径就是每个词的词性。因此我们还需要另外建立一个$T\times N$的二维数组，用于记录最优的词性选择路径

viterbi算法部分的代码如下

def log(v):

    if v == 0:

        return np.log(v + 0.0000001)

    return np.log(v)

def viterbi(x, pi, A, B):

    """

    x: user input string/sentence

    pi: initial probability of tags

    A: 给定tag，每个单词出现的概率

    B: tag之间的转移概率

    """

    x = [word2id[word] for word in x.split(" ")]

    T = len(x)

    dp = np.zeros((T, N))

    path = np.array([[0 for x in range(N)] for y in range(T)]) # T*N

    for j in range(N): # basecase for dp algorithm

        dp[0][j] = log(pi[j]) + log(A[j][x[0]])

    for i in range(1, T): # every words

        for j in range(N): # every tags

            dp[i][j] = -9999999

            for k in range(N): # 从每个k可以到达j

                score = dp[i-1][k] + log(B[k][j]) + log(A[j][x[i]])

                if score > dp[i][j]:

                    dp[i][j] = score

                    path[i][j] = k

    # print best tag sequence

    best_seq = [0] * T # best_seq = [1, 5, 0, 3, 55, ...]

    # step1: 找出最后一个单词的词性

    best_seq[T-1] = np.argmax(dp[T-1]) # 求出最大值所在下标

    # step2: 通过从后往前的循环以此求出每个单词的词性

    for i in range(T-2, -1, -1):

        best_seq[i] = path[i + 1][best_seq[i + 1]]

    # step3: print

    for i in range(len(best_seq)):

        print(id2tag[best_seq[i]])

# Test

x = "Social Security number , passport number and details about the services provided for the payment"

viterbi(x, pi, A, B)