NYOJ 105

九的余数

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难度：3

描述

现在给你一个自然数n，它的位数小于等于一百万，现在你要做的就是求出这个数整除九之后的余数。

输入

第一行有一个整数m(1<=m<=8),表示有m组测试数据；
随后m行每行有一个自然数n。

输出

输出n整除九之后的余数，每次输出占一行。

样例输入

3
4
5
465456541

样例输出

4
5
4

解答：

　　首先本题的思路首先可以发现如果直接取余是不可行的，因为后面的数有几百万位的，纵使long double 也远远不够。这时候就需要考虑如何解决“大数对9取余”这个问题。我们发现，a=a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+...+a₂*10²+a₁*10¹+a₀ .    a%9 = (a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+...+a₂*10²+a₁*10¹ )%9 = (a_n*10ⁿ)%9+(a_n-1*10^n-1)%9...+(a₂*10²)%9+(a₁*10¹)%9 + a₀%9 = (a_n%9)*(10ⁿ%9) +(a_n-1%9)*(10^n-1%9)+...+(a₂%9)*(10²%9)+(a₁%9)*(10¹%9).+a₀%9  =  (a_n%9)*1 +(a_n-1%9)*1+......+(a₂%9)*1+(a₁%9)*1+a₀%9  =   (a_n+a_n-1+...+a₂+a₁+a₀)%9.

即“这个数的各个位上的数字的和”对9取余即得结果。

首先代码如下：

 #include <iostream>
 #include <stdlib.h>
 using namespace std;

 int main(){
     int m;
     cin>>m;
     while(m--){
         string n;cin>>n;
         int res = ;
         while(n.length()!=){
             string temp = n.substr(,);
             res    += atoi( temp.c_str() );
             n = n.substr( ,n.length()- );
         }        

         cout<<res%<<endl;
     }

 }         

结果是TimeLimitExceeded 。

遂改进，得如下代码：

 #include<iostream>
 #include<vector>
 #include<string>
 #include<cstring>

 using namespace std;

 vector<int>a;
 int DIV(string m)//分切数并存储
 {
     int num=m.size();//存储数的长度
     for(int i=;i<num;i++){
         a.push_back(m[i]-'');
     }
     return num;
 }

 int main(){
     int M;
     cin>>M;
     while(M--){
         string n;//存储输入的数
         cin>>n;
         long num=DIV(n);
         long sum=;

         for(int i=;i<num;i++){
             sum+=a[i];
         }
         cout<<sum%<<endl;
         a.clear();
     }
     return ;
 }

终AC，可以发现，对于string的substr()操作是比较费时的，甚至比压入vector的时间还长。这是优化代码的一个方向。