\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  有 \(n\) 个人站成一个环,初始时第 \(i\) 个人手里有 \(a_i\) 个球。第 \(i\) 个人可以将自己手中任意数量的求给第 \(i+1\) 个人,第 \(n\) 个人则可以给第 \(1\) 个人。设所有人同时进行一次传球后,第 \(i\) 个人手里有 \(b_i\) 个球,并令 \(B\) 为所有可能的 \(\lang b_n\rang\) 构成的集合,求

\[ \sum_{\lang b_n \rang\in B}\prod_{x\in\lang b_n \rang}x \pmod{998244353}.
\]

  \(n\le10^5\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  首先有一个明显而重要的结论:存在某个人没有给别人球的传球方案一一对应了所有可能的 \(\lang b_n\rang\)。

  方法一 从暴力 DP 入手。枚举最小的 \(i=x\),使得 \(x\) 没有向 \(x+1\) 传球,此时令 \(f(i,j)\) 表示第 \(i\) 个人给出 \(j\) 个球时,\(x+1\sim i\) 这一段人的 \(b\) 值的乘积之和。转移时记得讨论当前的 \(i\) 能否不给下一个人球。

  写出转移式,似乎很难优化。这时不妨想一想,DP 欲求得的目标是什么? 是 \(f(i,j)\)?并不,应是 \(\sum_j f(i,j)\)。回头看一眼转移,发现我们能直接将转移施加在 \(\sum_j f(i,j)\) 上,状态中的 \(j\) 根本不需要!

  下一步优化比较简单:两种情况的转移均能写成 \(2\times2\) 的矩阵,求一求前缀积之类的就内求出答案了。复杂度 \(\mathcal O(n)\)。


  方法二 从组合意义入手。\(\prod b_i\) 即传完求后,每个人再从手里的球里选出一个的方案数。那么令 \(f(i,0/1)\) 表示考虑了前 \(i\) 个人,第 \(i\) 个人选出的球来自前一个人/自己,讨论转移。通过钦定第 \(1\) 个人所选出的球破环求解。复杂度 \(\mathcal O(n)\)。(我没实现所以讲得比较糊 www。

\(\mathcal{Code}\)

  只有方法一的代码呢。

/*-Rainybunny-*/

#include <bits/stdc++.h>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i ) const int MAXN = 1e6, MOD = 998244353, INV2 = 499122177, INV3 = 332748118;
int n, a[MAXN + 5]; inline int mul( const int u, const int v ) { return 1ll * u * v % MOD; }
inline int sub( int u, const int v ) { return ( u -= v ) < 0 ? u + MOD : u; }
inline int add( int u, const int v ) { return ( u += v ) < MOD ? u : u - MOD; } struct Matrix {
int a, b, c, d;
friend inline Matrix operator * ( const Matrix& u, const Matrix& v ) {
return { add( mul( u.a, v.a ), mul( u.b, v.c ) ),
add( mul( u.a, v.b ), mul( u.b, v.d ) ),
add( mul( u.c, v.a ), mul( u.d, v.c ) ),
add( mul( u.c, v.b ), mul( u.d, v.d ) ) };
}
} pre[MAXN + 5], suf[MAXN + 5]; inline Matrix getTrans( const int i, const bool type ) {
int tmp = mul( mul( a[i], a[i] + 1 ), INV2 );
if ( !type ) {
return { tmp, a[i] + 1,
mul( sub( a[i], mul( add( a[i], a[i] ) + 1, INV3 ) ), tmp ), tmp };
} else {
return { sub( mul( a[i], a[i] ), tmp ), a[i],
mul( sub( a[i], mul( add( a[i], a[i] ) + 1, INV3 ) ), tmp ), tmp };
}
} int main() {
// freopen( "y.in", "r", stdin );
// freopen( "y.out", "w", stdout );
std::ios::sync_with_stdio( false ), std::cin.tie( 0 ); std::cin >> n;
rep ( i, 1, n ) std::cin >> a[i]; pre[0] = { 1, 0, 0, 1 };
rep ( i, 1, n ) pre[i] = getTrans( i, 1 ) * pre[i - 1];
suf[n + 1] = { 1, 0, 0, 1 };
per ( i, n, 1 ) suf[i] = suf[i + 1] * getTrans( i, 0 ); int ans = 0;
rep ( i, 1, n ) { // i won't give i+1 any ball.
Matrix&& tmp( pre[i - 1] * suf[i + 1] );
ans = add( ans, add( mul( a[i], tmp.a ), tmp.c ) );
}
std::cout << ans << '\n';
return 0;
}

Solution -「ARC 124E」Pass to Next的更多相关文章

  1. Solution -「ARC 104E」Random LIS

    \(\mathcal{Description}\)   Link.   给定整数序列 \(\{a_n\}\),对于整数序列 \(\{b_n\}\),\(b_i\) 在 \([1,a_i]\) 中等概率 ...

  2. Solution -「ARC 101D」「AT4353」Robots and Exits

    \(\mathcal{Description}\)   Link.   有 \(n\) 个小球,坐标为 \(x_{1..n}\):还有 \(m\) 个洞,坐标为 \(y_{1..m}\),保证上述坐标 ...

  3. Solution -「ARC 110D」Binomial Coefficient is Fun

    \(\mathcal{Description}\)   Link.   给定非负整数序列 \(\{a_n\}\),设 \(\{b_n\}\) 是一个非负整数序列且 \(\sum_{i=1}^nb_i\ ...

  4. Solution -「ARC 126E」Infinite Operations

    \(\mathcal{Description}\)   Link.   给定序列 \(\{a_n\}\),定义一次操作为: 选择 \(a_i<a_j\),以及一个 \(x\in\mathbb R ...

  5. Solution -「ARC 126F」Affine Sort

    \(\mathcal{Description}\)   Link.   给定 \(\{x_n\}\),令 \[f(k)=\left|\{(a,b,c)\mid a,b\in[0,c),c\in[1,k ...

  6. Solution -「ARC 125F」Tree Degree Subset Sum

    \(\mathcal{Description}\)   Link.   给定含有 \(n\) 个结点的树,求非负整数对 \((x,y)\) 的数量,满足存在 \(\exist S\subseteq V ...

  7. Solution -「ARC 125E」Snack

    \(\mathcal{Description}\)   Link.   把 \(n\) 种零食分给 \(m\) 个人,第 \(i\) 种零食有 \(a_i\) 个:第 \(i\) 个人得到同种零食数量 ...

  8. Solution -「ARC 058C」「AT 1975」Iroha and Haiku

    \(\mathcal{Description}\)   Link.   称一个正整数序列为"俳(pái)句",当且仅当序列中存在连续一段和为 \(x\),紧接着连续一段和为 \(y ...

  9. Solution -「ARC 101E」「AT 4352」Ribbons on Tree

    \(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一棵 \(n\) 个点的树,其中 \(2|n\),你需要把这些点两两配对,并把每对点间的路径染色.求使得所有边被染色的方案数 ...

随机推荐

  1. go 使用 sort 对切片进行排序

    golang对slice的排序 golang里面需要使用sort包,并且实现几个接口Len, Swap, Less sort 包排序demo 假如现在有个slice 叫做 ids 里面保存的数据类型是 ...

  2. 第10组 Alpha冲刺 (1/6)

    1.1基本情况 ·队名:今晚不睡觉 ·组长博客:https://www.cnblogs.com/cpandbb/ ·作业博客:https://edu.cnblogs.com/campus/fzu/FZ ...

  3. Go语言系列之标准库fmt

    fmt包实现了类似C语言printf和scanf的格式化I/O.主要分为向外输出内容和获取输入内容两大部分. 向外输出 标准库fmt提供了以下几种输出相关函数. Print Print系列函数会将内容 ...

  4. 经典定长指令-修改EIP

    1.0x70~0x7F EIP无法像通用寄存器那样用mov来修改,只能通过类似于jz,JNB,JNE JBE,call等的跳转指令来进行修改 条件跳转,后跟一个字节立即数的偏移(有符号),共两个字节. ...

  5. DEEP LEARNING WITH PYTORCH: A 60 MINUTE BLITZ | TENSORS

    Tensor是一种特殊的数据结构,非常类似于数组和矩阵.在PyTorch中,我们使用tensor编码模型的输入和输出,以及模型的参数. Tensor类似于Numpy的数组,除了tensor可以在GPU ...

  6. golang中使用zap日志库

    1. 快速使用 package main import ( "go.uber.org/zap" "time" ) func main() { // 1. sug ...

  7. 【程序5】输入三个整数x,y,z,请把这三个数由小到大输出

    我自己写的: x = int(input('x:')) y = int(input('y:')) z = int(input('z:')) L = [x,y,z] print(sorted(L)) 官 ...

  8. linux设置系统用户密码

    目录 一:系统用户密码 1.设置用户密码 一:系统用户密码 1.设置用户密码 1.交互式方法 passwd [用户名] 2.免交互式 echo [设置密码] | passwd --stdin [用户名 ...

  9. pycharm 安装插件

    1.使用pip安装插件 pip安装指定版本的插件: pip install openpyxl==2.6.2 -i https://pypi.doubanio.com/simple/ -i后面跟的是&q ...

  10. 微信小程序笔记整理--入门篇。

    7-2 微信小程序入门篇 准备篇 1.登录网址,https://mp.weixin.qq.com 注册一个微信小程序. 2.获取微信小程序appid,登录自己的小程序后台,在开发者设置中获得appid ...