Codeforces 1009E Intercity Travelling | 概率与期望

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题目大意：

一个人要从$A$地前往$B$地，两地相距$N$千米，$A$地在第$0$千米处，$B$地在第$N$千米处。

从$A$地开始，每隔$1$千米都有$\dfrac{1}{2}$的概率拥有一个休息点， 如果这个地方有休息点的话，这个人就可以在此地休息，起点处（即第$0$千米处）一定是一个休息点。

如果这个人在最近一次休息后行驶了$i$千米，那么他将有$\sum_{j=1}^ia_i$疲劳值。

给出$N$与$a_i(i$为整数且$i\in[1,N])$，求这个人到达$B$地后拥有的疲劳值的期望，将其与$2^{N-1}$的积模$998244353$后输出。

题解：

设$S_i$为从第$i-1$千米处到达第$i$千米处所产生的疲劳值的期望。

考虑计算每个$S_i$，最后的答案即为$2^{n-1}\cdot\sum_{i=1}^NS_i\bmod998244353$。

很明显的一点是，与$S_i$有关的即为到达第$i$千米处前最后一次休息的地方是哪里。

对此，就会用$i-1$种可能的情况，

分别是最后一次休息的地方在第$0$千米处，在第$1$千米处，在第$2$千米处……在第$i-1$千米处；

这些情况的概率分别是$\dfrac{1}{2^{i-1}}$，$\dfrac{1}{2^{i-1}}$，$\dfrac{1}{2^{i-2}}$$\cdots$$\dfrac{1}{2^1}$；

在这些情况中，从第$i-1$千米处到达第$i$千米处所产生的疲劳值分别是$a_i$，$a_{i-1}$，$a_{i-2}$$\cdots$$a_1$。

注意：最后一次休息的地方在第$0$千米处的概率是$\dfrac{1}{2^{i-1}}$而不是$\dfrac{1}{2^i}$是因为第$0$千米处一定是一个休息点。

于是就有$S_i=\dfrac{a_i}{2^{i-1}}+\dfrac{a_{i-1}}{2^{i-1}}+\dfrac{a_{i-2}}{2^{i-2}}+\cdots+\dfrac{a_1}{2^1}$。

那么对于$S_{i+1}$，就有$S_{i+1}=S_i-\dfrac{a_i}{2^i}+\dfrac{a_{i+1}}{2^i}$。

然后，就可以在$O(n)$的时间内递推求出所有的$S_i$了。

初始条件？显然有$S_1=a_1$。

计算的时候不要忘记与$2^{N-1}$相乘以及取模。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
    using namespace std;
    const long long mod=998244353;
    long long a[1000005],f[1000005],mi[1000005];
int main()
{
    int n=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%I64d",&a[i]);
    mi[0]=1;
    for(int i=1;i<=n-1;i++) mi[i]=mi[i-1]*2%mod;//预处理出2的i次方
    f[1]=mi[n-1-0]*a[1]%mod;//初始条件
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        ans=(ans+f[i])%mod;//累加答案
        f[i+1]=((f[i]-mi[n-1-i]*a[i]%mod+mod)%mod+mi[n-1-i]*a[i+1]%mod)%mod;//递推
    }
    ans=(ans+f[n])%mod;//不要忘记加上最后这一项
    printf("%I64d",ans);
    return 0;
}

参考资料：

PikMike's blog —— Разбор Educational Codeforces Round 47