\(\rm{0x01\quad Preface}\)

\(emmm\)严格来讲,不应该被算到一个模板里面。因为在我看来模板是人构造出来的,但是这个算法应该是一个解决问题的\(process\)…更像是在解一道数学题,如果\(BSGS\)是定理的话,\(exBSGS\)更像是一个不断转化的过程233(手动@lxa并且溜

\(\rm{0x02\quad Algorithm~Process}\)

今天才发现原来\(\rm{BSGS}\)有两种写法……并且觉得剩下的题解讲的都讲的不是很全的样子233。

其实本质上,当\(p\)不为素数时,我们无法进行朴素\(\rm{BSGS}\)的原因是我们的欧拉定理\(a^{\varphi(p)} \equiv b(\bmod p)\) 只能处理\((a,p)=1\)的情况。那么我们知道,朴素的\(\rm{BSGS}\)的关键在于,可以保证最小解是有界的——\(x\)一定在\([1,\varphi(p)]\)中。所以最后\(BSGS\)的复杂度才会是\(\Theta(\sqrt{\varphi(p)})\) 的——比如说比较常见的\(p\)是素数的情况下,时间复杂度为\(\Theta(p)\)。

那么也就是说,我们只需要进行一些操作,保证$(a,p)=1 \(即可\)^{[1]}$。

我们思考,对于同余式\(a^x\equiv b~(\bmod p)​\)而言,我们先假定\((a,p)>1 ​\)。而此时如果有\(((a,p), b)=1​\),那么说明此式只有可能在\(x=0,b=1 ​\)的时候有解——这个结论是平凡的。因为假设我们把它展开成\(a\cdot a^{x-1} +kp=b ​\)的形式,必须要有\((a,p) ~|~ b​\)的情况下,才能保证\(a^{x-1}​\)和\(k ​\)都是整数。

那么对于\((a,p)>1\)且$(a,p)|b $,我们令原式变成

\[a^{x-1}\cdot \frac{a}{(a,p)} \equiv \frac{b}{(a,p)} (\bmod \frac{p}{(a,p)})
\]

的样子,如果此时\((a^{x-1},\frac{p}{(a,p)})=1\) 的话,我们就直接解

\[a^{x-1}\equiv \frac{\frac{b}{(a,p)}} {\frac{a}{(a,p)} }(\bmod \frac{p}{(a,p)})
\]

这个方程即可。否则我们继续分解直至\((p',a)=1\)。

那么此时有个问题需要注意,就是如果们在解这个方程时,出现了

\[(a^{x-1}, \frac{p}{(a,p)})\nmid \frac{\frac{b}{(a,p)}} {\frac{a}{(a,p)} }
\]

的情况,那我们需要特判并return -1 ;另一种情况,如果我们出现了

\[a^{x-1}\equiv \frac{\frac{b}{(a,p)}} {\frac{a}{(a,p)} } \equiv1(\bmod \frac{p}{(a,p)})
\]

的情况,也需要特判并输出此\(k\)(此时同余式左边是\(a^{x-k}\),因为\(a^{x-k}\equiv1~(\bmod p)\)所以直接输出\(k\)),不过也有可能不需要,完全看你写的\(BSGS\)能不能判断\(x=0\)的情况……一般情况下不能。

此时由于\(\boldsymbol{p}\)不再是素数,所以不能用费马小定理,需要我们用\(exgcd\)的方法求逆元,包括但不限于\(\frac{b}{(a,p)}\)的逆元和\(a^{-im}\)。

以下是完整版代码:


#include <map>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <unordered_map> #define ll long long using namespace std ;
unordered_map<ll, int> H ;
int N, M, P, ans ; // N ^x = M (mod P) inline ll gcd(ll a, ll b){
if (!b) return a ;
return gcd(b, a % b) ;
}
inline ll expow(ll a, ll b, ll mod){
ll res = 1 ;
while (b) res = ((b & 1)?res * a % mod : res), a = a * a % mod, b >>= 1 ;
return res ;
}
inline ll exgcd(ll &x, ll &y, ll a, ll b){
if (!b){ x = 1, y = 0 ; return a ; }
ll t = exgcd(y, x, b, a % b) ; y -= x * (a / b) ; return t ;
}
inline ll BSGS(ll a, ll b, ll mod, ll qaq){
H.clear() ; ll Q, p = ceil(sqrt(mod)), x, y ;
exgcd(x, y, qaq, mod), b = (b * x % mod + mod) % mod,
Q = expow(a, p, mod), exgcd(x, y, Q, mod), Q = (x % mod + mod) % mod ;
for (ll i = 1, j = 0 ; j <= p ; ++ j, i = i * a % mod) if (!H.count(i)) H[i] = j ;
for (ll i = b, j = 0 ; j <= p ; ++ j, i = i * Q % mod) if (H[i]) return j * p + H[i] ; return -1 ;
}
inline ll exBSGS(){
ll qaq = 1 ;
ll k = 0, qwq = 1 ;
if (M == 1) return 0 ;
while ((qwq = gcd(N, P)) > 1){
if (M % qwq) return -1 ;
++ k, M /= qwq, P /= qwq, qaq = qaq * (N / qwq) % P ;
if (qaq == M) return k ;
}
return (qwq = BSGS(N, M, P, qaq)) == -1 ? -1 : qwq + k ;
}
int main(){
while(cin >> N){
scanf("%d%d", &P, &M); if (!N && !M && !P) return 0 ;
N %= P, M %= P, ans = exBSGS() ; if (ans < 0) puts("No Solution") ; else cout << ans << '\n' ;
}
}

\(\rm{0x03\quad Afterword}\)

今天才知道原来\(BSGS\)有两种写法qaq

\(zyf2000\)好像和我写的\(BSGS\)对“大步”和“小步”的定义不是很一样…于是最后还是自己\(\rm{yy}\)的233

\(\rm{Reference}\)

exBSGS·BSGS-Senior/扩展的BSGS的更多相关文章

  1. BZOJ_2242_[SDOI2011]计算器_快速幂+扩展GCD+BSGS

    BZOJ_2242_[SDOI2011]计算器_快速幂+扩展GCD+BSGS 题意: 你被要求设计一个计算器完成以下三项任务: 1.给定y,z,p,计算Y^Z Mod P 的值: 2.给定y,z,p, ...

  2. BSGS及扩展BSGS总结(BSGS,map)

    蒟蒻哪里有什么总结,只能点击%YL% 还有这位ZigZagK大佬的blog \(\mbox{BSGS}\) 模板题:洛谷P3846 [TJOI2007]可爱的质数 给定\(a,b\)和模数\(\mbo ...

  3. BSGS及其扩展

    目录 定义 原理 朴素算法 数论分块 例题 Luogu2485 [SDOI2011]计算器 题解 代码 扩展 例题 Luogu4195 [模板]exBSGS/Spoj3105 Mod 代码 之前写了一 ...

  4. BSGS与扩展BSGS

    BSGS \(BSGS\)算法又称大步小步\((Baby-Step-Giant-Step)\)算法 \(BSGS\)算法主要用于解以下同余方程 \[A^x\equiv B(mod\ p)\]其中\(( ...

  5. BSGS和扩展BSGS

    BSGS: 求合法的\(x\)使得\(a ^ x \quad mod \quad p = b\) 先暴力预处理出\(a^0,a^1,a^2.....a^{\sqrt{p}}\) 然后把这些都存在map ...

  6. BSGS 和扩展

    BSGS BSGS,全称叫 BabyStepGiantStep,也就是大步小步 其实还是比较暴力的 它可以\(O(\sqrt p)\)的复杂度内解出: \[a^x\equiv n\pmod p,\gc ...

  7. BZOJ 2242: [SDOI2011]计算器( 快速幂 + 扩展欧几里德 + BSGS )

    没什么好说的... --------------------------------------------------------------------- #include<cstdio&g ...

  8. BSGS及扩展BSGS算法及例题

    \(BSGS(baby-step-giant-step)\)算法是用来解高次同余方程的最小非负整数解的算法,即形如这个的方程: \(a^x\equiv b(mod\ p)\) 其中\(p\)为质数(其 ...

  9. Codeforces 1106F Lunar New Year and a Recursive Sequence (数学、线性代数、线性递推、数论、BSGS、扩展欧几里得算法)

    哎呀大水题..我写了一个多小时..好没救啊.. 数论板子X合一? 注意: 本文中变量名称区分大小写. 题意: 给一个\(n\)阶递推序列\(f_k=\prod^{n}_{i=1} f_{k-i}b_i ...

随机推荐

  1. ionic 项目中ios上遇到的软键盘输入法自动弹出的问题

    一.  安装插件 cordova plugin add ionic-plugin-keyboard 二. 软键盘显示监听 window.addEventListener('native.keyboar ...

  2. python自动化开发-6-常用模块-续1

    json和pickle模块:用于序列化的模块. 序列化:我们把对象(变量)从内存中变成可存储或传输的过程称之为序列化,在Python中叫pickling,在其他语言中也被称之为serializatio ...

  3. Gartner2017年BI研究计划曝光,来看看他研究的都是啥?

    文 | 水手哥 本文出自:知乎专栏<帆软数据应用研究院>——数据干货&资讯集中地   近日,Gartner发布了<Analytics and Business Intelli ...

  4. 动态导入模块:__import__、importlib、动态导入的使用场景

    相关内容: __import__ importlib 动态导入的使用场景 首发时间:2018-02-23 16:06 __import__: 功能: 是一个函数,可以在需要的时候动态导入模块 使用: ...

  5. Centos7下搭建SVN服务,本地提交代码自动同步到WEB目录

    1.安装SVN服务[root@bogon ~]# yum -y install subversion 2.查看svnserve安装目录[root@bogon ~]# whereis svnserves ...

  6. 天池新人赛-天池新人实战赛o2o优惠券使用预测(一)

    第一次参加天池新人赛,主要目的还是想考察下自己对机器学习上的成果,以及系统化的实现一下所学的东西.看看自己的掌握度如何,能否顺利的完成一个分析工作.为之后的学习奠定基础. 这次成绩并不好,只是把整个机 ...

  7. 游标和递归sql 的一些代码

    DECLARE @UserID INT; --推广员帐号 DECLARE @ProxyID INT; --代理帐号 ; --分数 SELECT @UserID = [SpreaderID] FROM ...

  8. 4.1Python数据类型(1)之数值类型

    返回总目录 目录: 1.数据类型的表现形式: 2.数据进制的转换: 3.数据的常规操作: (一).数据类型的表现形式: (1)整数类型: # 二进制: a = 0b0110 print("二 ...

  9. Jersey常用注解解释 @DET、@PUT、@POST 、@DELETE等

    uri : ... /resource/{id} public voide method(@PathParam("id") String userId){} uri :  .../ ...

  10. Java设计模式之十三 ---- 观察者模式和空对象模式

    前言 在上一篇中我们学习了行为型模式的备忘录模式(Memento Pattern)和状态模式(Memento Pattern).本篇则来学习下行为型模式的最后两个模式,观察者模式(Observer P ...