剑指Offer（书）：剪绳子

题目：给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段，每段绳子的长度记为k[0],k[1]....,k[m]。请问k[0]xk[1]x...,k[m]可能的最大乘积是多少。例如：长度为8剪成2 3 3 得到最大乘积18.

分析：绳子的最小基础剪发可以分为2 或3， 也就是，当数据中全是由2 或3 组成时，相乘的结果最大。因此，由小至大，

　　* 绳子的长为2时，只能剪成1 1，即f(2) = 1x1 = 1;

　　* 当绳子长为3时，可能将绳子剪成长度为1 2 或者1 1 1，由于1 x 2 > 1 x 1 x 1,因此f(3)=2;
　　* 当绳子长为4时，可能将绳子剪成长度为2 2 或者 1 2 1 或者1 1 1 1或者 1 3，由于2 x 2 > 其他，因此f(4)=2*2
　　* 当绳子长为5时，可能将绳子剪成长度为3 2 或者...，由于3 x 2 > 其他，因此f(5)=3*2;
　　* 当绳子长为6时，可能将绳子剪成长度为3 3 或者...，由于3 x 3 > 其他，因此f(6)=3*3=9;//不使用f(3)因为3为最小单位中的最大值
　　* 当绳子长为7时，可能将绳子剪成长度为4 3 或者...，由于4 x 3 > 其他，因此f(7)=f(4)*3=2*2*3=12；我们的算法求解范围为由1-n。由小向大算，因此f(4)我们已经算出来了，直接使用即可，不必重复计算。
　　* 当绳子长为8时，可能将绳子剪成长度为2 6 或者...，因此f(8)=f(6)*2=3*3*2=18;我们的算法求解范围为由1-n。由小向大算，因此f(6)我们已经算出来了，直接使用即可，不必重复计算。

　　同理，当绳子长为9时，比较2*f(7)的值和3*f(6)的值即可.当绳子长为10时，比较2*f(8)的值和3*f(7)的值即可..当绳子长为11时，比较2*f(9)的值和3*f(8)的值即可.

public int maxProductAfterCutting(int length){
    if(length<2){
        return 0;
    }
    if(length==2){
        return 1;
    }
    if(length==3){
        return 2;
    }

    int[] products = new int[length+1];
    products[0]=0;
    products[1]=1;
    products[2]=2;
    products[3]=3;
    int max=0;
    for(int i=4;i<=length;i++){
        max=0;
        for(int j=1;j<=i/2;j++){
            int product =products[j]*products[i-j];
            if(max<product) {
                max = product;
            }
        }
        products[i]=max;
    }
    return products[length];
}

这是另一种实现方式。按照最小基数单元来的。2 3，减少一点点计算次数。第一次感受到了算法的美妙之处~~~不要鄙视我，哈哈

public int maxProductAfterCutting(int length) {
    if (length < 2) {
        return 0;
    }
    if (length == 2) {
        return 1;
    }
    if (length == 3) {
        return 2;
    }

    int[] products = new int[length + 1];
    products[0] = 0;
    products[1] = 1;
    products[2] = 2;
    products[3] = 3;
    for (int i = 4; i <= length; i++) {
        int p2 = 2 * products[i - 2];
        int p3 = 3 * products[i - 3];
        products[i] = p2 < p3 ? p3 : p2;
    }
    return products[length];
}

上面是动态规划法，下面是贪婪法。

public int maxProductAfterCutting2(int length) {
    if (length < 2) {
        return 0;
    }
    if (length == 2) {
        return 1;
    }
    if (length == 3) {
        return 2;
    }
    int paraThree = length / 3;
    int paraTwo = 1;
    if (length - paraThree * 3 == 1) {
        paraThree--;
        paraTwo = 2;
    }
    return (int) (Math.pow(3, paraThree)) * (int) (Math.pow(2, paraTwo));
}