算法理论基础:

可行顶点标号

用l(v)表示顶点v的标号,w(uv)表示边(u,v)的权,对于赋权二分图G=(X,Y),若对每条边e=xy,均有l(x)+l(y)>=w(xy),则称这个标号为G的一个可行顶点标号

赋权二分图的可行顶点标号总是存在,一种平凡的可行顶点标号是:l(v)=max w(vy),v∈X y∈Y

                                                                                l(v)=0,v∈Y

相等子图

设G是一个赋权二分图,l是G的可行顶点标号,边(u,v)上的权为w(uv)。令El={xy∈E(G)|l(x)+l(y)=w(xy)},G中以El为边集的生成子图称为G的l相等子图,记为Gl,注意Gl    的顶点集与G的顶点集相同。

定理

设l是赋权二分图G的一个可行顶点标号,若相等子图有Gl有完美匹配M*,则M*是G的最大权完美匹配。

  

基本原理

该算法是通过给每个顶点一个标号(叫做顶标)来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[ i ],顶点Yj的顶标为B[ j ],顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻,对于任一条边(i,j),A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。
 
KM算法的正确性基于以下定理:
若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图(称做相等子图)有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
首先解释下什么是完备匹配,所谓的完备匹配就是在二部图中,X点集中的所有点都有对应的匹配且Y点集中所有的点都有对应的匹配,则称该匹配为完备匹配。
这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配,如果它包含于相等子图,那么它的边权和等于所有顶点的顶标和;如果它有的边不包含于相等子图,那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立,令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权,B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配,就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图,直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了,是因为对于某个X顶点,我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树,它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d,Y顶点的顶标全都增加同一个值d,那么我们会发现:
1)两端都在交错树中的边(i,j),A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说,它原来属于相等子图,现在仍属于相等子图。
2)两端都不在交错树中的边(i,j),A[ i ]和B[j]都没有变化。也就是说,它原来属于(或不属于)相等子图,现在仍属于(或不属于)相等子图。
3)X端不在交错树中,Y端在交错树中的边(i,j),它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图,现在仍不属于相等子图。
4)X端在交错树中,Y端不在交错树中的边(i,j),它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说,它原来不属于相等子图,现在可能进入了相等子图,因而使相等子图得到了扩大。
5)到最后,X端每个点至少有一条线连着,Y端每个点有一条线连着,说明最后补充完的相等子图一定有完备匹配。(若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图(称做相等子图)有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。)
现在的问题就是求d值了。为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立,且至少有一条边进入相等子图,d应该等于:
Min{A[ i ]+B[j]-w[i,j] | Xi在交错树中,Yi不在交错树中}。
 
时间复杂度
以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法,时间复杂度为O(n^4)——需要找O(n)次增广路,每次增广最多需要修改O(n)次顶标,每次修改顶标时由于要枚举边来求d值,复杂度为O(n^2)。
 
基本流程
(1)初始化可行顶标的值;
(2)用匈牙利算法寻找完备匹配;
(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值;
(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止;

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