KM算法(Kuhn-Munkres)
算法理论基础:
可行顶点标号
用l(v)表示顶点v的标号,w(uv)表示边(u,v)的权,对于赋权二分图G=(X,Y),若对每条边e=xy,均有l(x)+l(y)>=w(xy),则称这个标号为G的一个可行顶点标号。
赋权二分图的可行顶点标号总是存在,一种平凡的可行顶点标号是:l(v)=max w(vy),v∈X y∈Y
l(v)=0,v∈Y
相等子图
设G是一个赋权二分图,l是G的可行顶点标号,边(u,v)上的权为w(uv)。令El={xy∈E(G)|l(x)+l(y)=w(xy)},G中以El为边集的生成子图称为G的l相等子图,记为Gl,注意Gl 的顶点集与G的顶点集相同。
定理
设l是赋权二分图G的一个可行顶点标号,若相等子图有Gl有完美匹配M*,则M*是G的最大权完美匹配。
基本原理
该算法是通过给每个顶点一个标号(叫做顶标)来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[ i ],顶点Yj的顶标为B[ j ],顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻,对于任一条边(i,j),A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。KM算法的正确性基于以下定理:若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图(称做相等子图)有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。首先解释下什么是完备匹配,所谓的完备匹配就是在二部图中,X点集中的所有点都有对应的匹配且Y点集中所有的点都有对应的匹配,则称该匹配为完备匹配。这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配,如果它包含于相等子图,那么它的边权和等于所有顶点的顶标和;如果它有的边不包含于相等子图,那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立,令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权,B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配,就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图,直到相等子图具有完备匹配为止。我们求当前相等子图的完备匹配失败了,是因为对于某个X顶点,我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树,它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d,Y顶点的顶标全都增加同一个值d,那么我们会发现:1)两端都在交错树中的边(i,j),A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说,它原来属于相等子图,现在仍属于相等子图。2)两端都不在交错树中的边(i,j),A[ i ]和B[j]都没有变化。也就是说,它原来属于(或不属于)相等子图,现在仍属于(或不属于)相等子图。3)X端不在交错树中,Y端在交错树中的边(i,j),它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图,现在仍不属于相等子图。4)X端在交错树中,Y端不在交错树中的边(i,j),它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说,它原来不属于相等子图,现在可能进入了相等子图,因而使相等子图得到了扩大。5)到最后,X端每个点至少有一条线连着,Y端每个点有一条线连着,说明最后补充完的相等子图一定有完备匹配。(若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图(称做相等子图)有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。)现在的问题就是求d值了。为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立,且至少有一条边进入相等子图,d应该等于:Min{A[ i ]+B[j]-w[i,j] | Xi在交错树中,Yi不在交错树中}。时间复杂度基本流程
(1)初始化可行顶标的值;(2)用匈牙利算法寻找完备匹配;(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值;(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止;
KM算法(Kuhn-Munkres)的更多相关文章
- 【HDU 2255】奔小康赚大钱 (最佳二分匹配KM算法)
奔小康赚大钱 Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Subm ...
- 二分图匹配--KM算法
Kuhn-Munkres算法 KM算法,求完备匹配下的最大权匹配,时间复杂度O(\(n^3\)) 所谓的完备匹配就是在二部图中,x点集中的所有点都有对应的匹配 且 y点集中所有的点都有对应的匹配 ,则 ...
- 匈牙利算法与KM算法
匈牙利算法 var i,j,k,l,n,m,v,mm,ans:longint; a:..,..]of longint; p,f:..]of longint; function xyl(x,y:long ...
- 【HDU2255】奔小康赚大钱-KM算法
Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Problem Description ...
- HDU2255-奔小康赚大钱-二分图最大权值匹配-KM算法
二分图最大权值匹配问题.用KM算法. 最小权值的时候把权值设置成相反数 /*-------------------------------------------------------------- ...
- KM算法及其优化的学习笔记&&bzoj2539: [Ctsc2000]丘比特的烦恼
感谢 http://www.cnblogs.com/vongang/archive/2012/04/28/2475731.html 这篇blog里提供了3个链接……基本上很明白地把KM算法是啥讲清楚 ...
- poj 2195 KM算法
题目链接:http://poj.org/problem?id=2195 KM算法模板~ 代码如下: #include "stdio.h" #include "string ...
- hdu 2255 奔小康赚大钱--KM算法模板
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2255 题意:有N个人跟N个房子,每个人跟房子都有一定的距离,现在要让这N个人全部回到N个房子里面去,要 ...
- HDU(2255),KM算法,最大权匹配
题目链接 奔小康赚大钱 Time Limit: 1000/1000MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Su ...
- 二分图 最大权匹配 km算法
这个算法的本质还是不断的找增广路: KM算法的正确性基于以下定理:若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图(称做相等子图)有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最 ...
随机推荐
- 关于Windows 8使用WMP播放音乐时WUDFHost跑CPU和硬盘的问题解决
Windows 8使用Windows Media Player播放音乐的时候.事实上有一个这种情况,WMP和某个什么名字看起来非常屌的进程跑CPU非常高,这个跑非常高视你插入的SD卡内的文件数或者移动 ...
- 为何被主流抛弃-江西IDC机房价格为何居高不下缺少竞争力-2014年5月江西IDC排行榜
经常有人问江西IDC排行榜,为什么江西市场缺乏活力. 榜单调研者们有时仅仅能表示无解和无奈. 在IDC领域,其实已经形成了一二三线的城市之分. 一线城市是以上海.北京.深圳为代表的拥有最早国际宽 ...
- Chrome插件(扩展)
[干货]Chrome插件(扩展)开发全攻略 写在前面 我花了将近一个多月的时间断断续续写下这篇博文,并精心写下完整demo,写博客的辛苦大家懂的,所以转载务必保留出处.本文所有涉及到的大部分代码均 ...
- Android 跑马灯效果与EditText冲突
近期一个项目,因为布局TextView内容太长了.首先想到的就是跑马灯效果,所以就把TextView又一次自己定义了,尽管跑马灯效果实现了.只是导致了还有一个问题就是EditText输入问题,当第一次 ...
- 玩转单元測试之WireMock -- Web服务模拟器
WireMock 是一个灵活的库用于 Web 服务測试,和其它測试工具不同的是.WireMock 创建一个实际的 HTTPserver来执行你的 Web 服务以方便測试. 它支持 HTTP 响应存根. ...
- Woody的逻辑游戏--怎样换轮胎
题目:有一个做长途运输的司机要出发了,他用作运输的车是三轮车.轮胎的寿命是2万里,如今他要进行5万里的长途运输.计划用8个轮胎完毕运输任务,如何才干做到呢? 首先将轮胎从1-8依次编号,然后例如以下所 ...
- 【HDU 2010】水仙花数
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2010 春天是鲜花的季节,水仙花就是其中最迷人的代表,数学上有个水仙花数,他是这样定义的:“水仙花数”是指一个三位 ...
- android EditText如何使光标随着输入内容移动
EditText 使光标随着输入内容移动的setSelection()
- linux下的C语言开发(定时器)
定时器是我们需要经常处理的一种资源.那Linux下面的定时器又是怎么一回事呢?其实,在linux里面有一种进程中信息传递的方法,那就是信号.这里的定时器就相当于系统每隔一段时间给进程发一个定时信号,我 ...
- IntelliJ IDEA 缓存和索引介绍
转自:https://www.cnblogs.com/zhanghaibinblogs/p/6722061.html IDEA 在首次加载项目的时候都会创建索引,IDEA 的缓存和索引主要是用来加快文 ...