Atcoder 3857 Median Sum

Problem Statement

You are given N integers A₁, A₂, ..., A_N.

Consider the sums of all non-empty subsequences of A. There are 2^N−1 such sums, an odd number.

Let the list of these sums in non-decreasing order be S₁, S₂, ..., S_2^N−1.

Find the median of this list, S_2^N−1.

Constraints

• 1≤N≤2000
• 1≤A_i≤2000
• All input values are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
A1 A2 … AN

Output

Print the median of the sorted list of the sums of all non-empty subsequences of A.

Sample Input 1

3
1 2 1

Sample Output 1

2

In this case, S=(1,1,2,2,3,3,4). Its median is S₄=2.

Sample Input 2

1
58

Sample Output 2

58

In this case, S=(58).

我们不妨把空集考虑进来，那么最后的答案就是 第 2^(N-1)+1 小的sum。

显然可以直接O(N^3)dp,最后可以算出和为每个数的集合有多少个。

然后考虑一下怎么优化这个算法。

我们可以发现一个集合和它的补集的和总是 所有数的和，这样我们的dp数组肯定是对称的，即最后 f[0] = f[sum of a[]] ....

所以我们如果要求中位数的话，只需要知道出现过的和的中位数就行了，暴力bitset维护，常数除以了一个32.

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=2000;
int a[maxn+5],n,now;
int num[maxn*maxn+5],T;
bitset<maxn*maxn+maxn> S;
int main(){
	scanf("%d",&n),S[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&now);
		S|=S<<now;
	}
	for(int i=1;i<=maxn*maxn;i++) if(S[i]) num[++T]=i;
	printf("%d\n",num[(T+1)>>1]);
	return 0;
}