BZOJ2694: Lcm

题目：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2694

题解：令f[i]表示i是否有平方因子，则f[i]是积性函数，mu[i]表示莫比乌斯函数。

经过balabala的推导，我们得出ans=sigma（f[i/j]*mu[j]*j*j*sum(n/i,m/i))）  sum(x,y)=x*(x+1)/2*y*(y+1)/2

然后我们定义新函数 g[i]=sigma(f[i/d]*mu[d]*d*d) 因为积性函数的狄利克雷卷积仍然是积性函数，所以我们考虑把g数组线筛出来，然后就可以做到sqrt（n）回答询问了。

考虑i%p[j]==0的这部分（初值和i%p[j]!=0可以很简单算出来），如果k=i*p[j]中有p[j]的次数超过2，那么g[k]=0

这是因为我们要在f 和 mu 上分 p[j]的指数，>2时由鸽巢原理知必有一个分到2个以上，那么乘积就是0.

否则 p[j] 的指数为2，我们必须在 f 上分一个，mu上分一个，这样g[k]=g[i/p[j]]*-p[j]*p[j]*p[j]   （第一个p[j]是分到f上的，负号是给 mu 的，p[j]*p[j]则是d*d，还是利用了积性函数的性质）

既然是积性函数并且i/p[j]和p[j]*p[j]互质，那么g[k]就等于g[t]*g[p[j]*p[j]]  注意t==1时要特判。

然后这题就做完了。

因为模数奇特所以直接爆int即可。

代码：

 #include<cstdio>

 #include<cstdlib>

 #include<cmath>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 #include<iostream>

 #include<vector>

 #include<map>

 #include<set>

 #include<queue>

 #include<string>

 #define inf 1000000000

 #define maxn 4000000+5

 #define maxm 4000000

 #define eps 1e-10

 #define ll long long

 #define pa pair<int,int>

 #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)

 #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)

 #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)

 #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)

 #define for4(i,x) for(int i=head[x],y=e[i].go;i;i=e[i].next,y=e[i].go)

 #define for5(n,m) for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)

 #define mod 1073741823

 using namespace std;

 inline int read()

 {

     int x=,f=;char ch=getchar();

     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}

     while(ch>=''&&ch<=''){x=*x+ch-'';ch=getchar();}

     return x*f;

 }
 int tot,p[maxn],g[maxn];
 bool v[maxn];
 void get()
 {
     g[]=;
     for2(i,,maxm)
     {
         if(!v[i])p[++tot]=i,g[i]=i-i*i;
         for1(j,tot)
         {
             int k=i*p[j];
             if(k>maxm)break;
             v[k]=;
             if(i%p[j])g[k]=g[i]*g[p[j]];
             else
             {
                 int t=i/p[j];
                 if(t%p[j]==)g[k]=;
                 else g[k]=-g[t]*p[j]*p[j]*p[j];
                 break;
             }
         }
     }
     for1(i,maxm)g[i]+=g[i-];
 }
 inline int sum(int n,int m)
 {
     return n*(n+)*m*(m+)/;
 }

 int main()

 {

     freopen("input.txt","r",stdin);

     freopen("output.txt","w",stdout);
     get();

     int T=read();
     while(T--)
     {
         int n=read(),m=read(),ans=;
         if(n>m)swap(n,m);
         for(int i=,j;i<=n;i=j+)
         {
             j=min(n/(n/i),m/(m/i));
             ans+=sum(n/i,m/i)*(g[j]-g[i-]);
         }
         printf("%d\n",ans&mod);
     }

     return ;

 }