Floyd 算法小结 

By Wine93 2013.11

1. Floyd算法简介

Floyd算法利用动态规划思想可以求出任意2点间的最短路径,时间复杂度为O(n^3),对于稠密图, 效率要高于执行|V|次Dijkstra算法.

核心代码如下:

for(k=1;k<=n;k++)

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++)

dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);

相关应用 : 有向图:①求任意2点间最短路径  ②求最小环(可判断负圈,检查dis[i][i])   ③求传递闭包

无向图:(无负权边): ①求任意2点间最短路径  ②求最小环

注意:对于有负权边的无向图，会出现很多意想不到的错误，请谨慎使用floyd。

2. 个人心得

对于floyd，我认为最重要的是理解k循环这层，每枚举一个k，代表下面代表的点对(i，j)之间的 最短路有可能会通过k这点而变小,也就是说在i到j的这条简单路径上插上k这个点，有可能会使路径长度变小。还有就是floyd求出来的最短路径肯定是简单路径(无向图)

关于可Floyd解的题其顶点数都比较小，根据这点会给我们一点暗示.

如果要输出floyd所求相关路径，我们可以记录mid[i][j](表示i到j这条路径中插入的点k),这样通过不断递归，就可以求出整条路径

3. Floyd算法的应用举例

(1) 求无向图最小环 

HDU 1599 find the mincost route

  1. # include<cstdio>
  2. # include<cstring>
  3. # include<algorithm>
  4. using namespace std;
  5.  
  6. # define INF <<
  7. # define N 
  8.  
  9. int mat[N][N],dis[N][N];
  10. int minloop;
  11.  
  12. void floyd(int n)
  13. {
  14.     int i,j,k;
  15.     for(k=;k<=n;k++)
  16.     {
  17.         for(i=;i<=n;i++)
  18.             for(j=;j<=n;j++)
  19.                 if(i!=j&&i!=k&&j!=k&&dis[i][j]+mat[j][k]+mat[k][i]<minloop)
  20.                     minloop=dis[i][j]+mat[j][k]+mat[k][i];
  21.         for(i=;i<=n;i++)
  22.             for(j=;j<=n;j++)
  23.                 dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
  24.     }
  25. }
  26.  
  27. void init(int n)
  28. {
  29.     int i,j;
  30.     minloop=INF;
  31.     for(i=;i<=n;i++)
  32.         for(j=;j<=n;j++)
  33.             mat[i][j]=mat[j][i]=dis[i][j]=dis[j][i]=INF;
  34. }
  35.  
  36. int main()
  37. {
  38.    // freopen("in.txt","r",stdin);
  39.     int i,n,m,u,v,w;
  40.     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
  41.     {
  42.         init(n);
  43.         for(i=;i<=m;i++)
  44.         {
  45.             scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
  46.             if(w<mat[u][v])
  47.                 mat[u][v]=mat[v][u]=dis[u][v]=dis[v][u]=w;
  48.         }
  49.         floyd(n);
  50.         if(minloop==INF) printf("It's impossible.\n");
  51.         else printf("%d\n",minloop);
  52.     }
  53.     return ;
  54. }

HDU 1599

POJ 1734 Sightseeing trip(需输出最小环)

  1. # include<cstdio>
  2. # include<cstring>
  3. # include<vector>
  4. # include<algorithm>
  5. using namespace std;
  6.  
  7. # define pb push_back
  8. # define INF <<
  9. # define N 
  10.  
  11. int mat[N][N],dis[N][N],mid[N][N],minloop;
  12. vector<int> vec;
  13.  
  14. void dfs(int l,int r)
  15. {
  16.     if(mid[l][r]==-) return;
  17.     dfs(l,mid[l][r]);
  18.     vec.pb(mid[l][r]);
  19.     dfs(mid[l][r],r);
  20. }
  21.  
  22. void floyd(int n)
  23. {
  24.     int i,j,k;
  25.     for(k=;k<=n;k++)
  26.     {
  27.         for(i=;i<k;i++)
  28.             for(j=i+;j<k;j++)
  29.             {
  30.                 if(dis[i][j]+mat[j][k]+mat[k][i]<minloop)
  31.                 {
  32.                     minloop=dis[i][j]+mat[j][k]+mat[k][i];
  33.                     vec.clear();
  34.                     vec.pb(i);
  35.                     dfs(i,j);
  36.                     vec.pb(j);
  37.                     vec.pb(k);
  38.                 }
  39.             }
  40.         for(i=;i<=n;i++)
  41.             for(j=;j<=n;j++)
  42.             {
  43.                 if(dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j])
  44.                 {
  45.                     dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
  46.                     mid[i][j]=k;
  47.                 }
  48.             }
  49.     }
  50. }
  51.  
  52. void init(int n)
  53. {
  54.     int i,j;
  55.     minloop=INF;
  56.     for(i=;i<=n;i++)
  57.         for(j=;j<=n;j++)
  58.             mat[i][j]=dis[i][j]=INF,mid[i][j]=-;
  59.     vec.clear();
  60. }
  61.  
  62. int main()
  63. {
  64.     //freopen("in.txt","r",stdin);
  65.     int i,j,n,m,u,v,w;
  66.     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
  67.     {
  68.         init(n);
  69.         for(i=;i<=m;i++)
  70.         {
  71.             scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
  72.             if(w<mat[u][v])
  73.                 dis[u][v]=dis[v][u]=mat[u][v]=mat[v][u]=w;
  74.         }
  75.         floyd(n);
  76.         if(minloop==INF)
  77.         {
  78.             printf("No solution.\n");
  79.             continue;
  80.         }
  81.         printf("%d",vec[]);
  82.         for(i=;i<vec.size();i++)
  83.             printf(" %d",vec[i]);
  84.         printf("\n");
  85.     }
  86.     return ;
  87. }

POJ 1734

相关证明理解请参考下面博客，讲解的非常好:

http://www.kaixinwenda.com/article-aclion-8074848.html

(2)判断有向图是否有正环

POJ 2240 Arbitrage

  1. # include<cstdio>
  2. # include<cstring>
  3. # include<string>
  4. # include<map>
  5. # include<algorithm>
  6. using namespace std;
  7.  
  8. # define N
  9. double dis[N][N];
  10.  
  11. void floyd(int n)
  12. {
  13.     int i,j,k;
  14.     for(k=;k<=n;k++)
  15.         for(i=;i<=n;i++)
  16.             for(j=;j<=n;j++)
  17.                 dis[i][j]=max(dis[i][j],dis[i][k]*dis[k][j]);
  18. }
  19.  
  20. void init(int n)
  21. {
  22.     int i,j;
  23.     for(i=;i<=n;i++)
  24.         for(j=;j<=n;j++)
  25.             dis[i][j]=(i==j)?:;
  26. }
  27.  
  28. int main()
  29. {
  30.  //   freopen("in.txt","r",stdin);
  31.     map<string,int> Hash;
  32.     int i,n,m,num,flag,cas=,u,v;
  33.     char s1[N],s2[N];
  34.     double d;
  35.     while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n)
  36.     {
  37.         Hash.clear();
  38.         flag=num=;
  39.         init(n);
  40.         for(i=;i<=n;i++)
  41.         {
  42.             scanf("%s",s1);
  43.             Hash[s1]=++num;
  44.         }
  45.         scanf("%d",&m);
  46.         for(i=;i<=m;i++)
  47.         {
  48.             scanf("%s %lf %s",s1,&d,s2);
  49.             u=Hash[s1];
  50.             v=Hash[s2];
  51.             dis[u][v]=max(dis[u][v],d);
  52.         }
  53.         floyd(n);
  54.         printf("Case %d: ",cas++);
  55.         for(i=;i<=n;i++)
  56.             if(dis[i][i]>1.0)
  57.             {
  58.                 flag=;
  59.                 break;
  60.             }
  61.         if(flag) printf("Yes\n");
  62.         else printf("No\n");
  63.     }
  64.     return ;
  65. }

POJ 2240

(3)传递闭包

POJ 3660 Cow Contest

  1. # include<cstdio>
  2. # include<cstring>
  3. # include<algorithm>
  4. using namespace std;
  5.  
  6. # define N
  7. int f[N][N],beat[N],win[N];
  8.  
  9. void floyd(int n)
  10. {
  11.     int i,j,k;
  12.     for(k=;k<=n;k++)
  13.         for(i=;i<=n;i++)
  14.             for(j=;j<=n;j++)
  15.                 f[i][j]|=(f[i][k]&&f[k][j]);
  16. }
  17.  
  18. int main()
  19. {
  20.     int i,j,n,m,u,v,ans;
  21.     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
  22.     {
  23.         ans=;
  24.         memset(beat,,sizeof(beat));
  25.         memset(win,,sizeof(win));
  26.         memset(f,,sizeof(f));
  27.         for(i=;i<=m;i++)
  28.         {
  29.             scanf("%d%d",&u,&v);
  30.             f[u][v]=;
  31.         }
  32.         floyd(n);
  33.         for(i=;i<=n;i++)
  34.         {
  35.             for(j=;j<=n;j++)
  36.                 if(f[j][i])  //j beat i
  37.                 {
  38.                     win[j]++;
  39.                     beat[i]++;
  40.                 }
  41.         }
  42.         for(i=;i<=n;i++)
  43.             if(win[i]+beat[i]==n-)
  44.                 ans++;
  45.         printf("%d\n",ans);
  46.     }
  47.     return ;
  48. }

POJ 3660

(4)好题推荐(独立完成)

HDU 3631 Shortest Path    //深入理解floyd

  1. # include<cstdio>
  2. # include<cstring>
  3. # include<algorithm>
  4. using namespace std;
  5.  
  6. # define INF <<
  7. # define N 
  8.  
  9. int n,m,q;
  10. int dis[N][N];
  11. int mark[N];
  12.  
  13. void floyd(int k)
  14. {
  15.     int i,j;
  16.     for(i=;i<n;i++)
  17.         for(j=;j<n;j++)
  18.             dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
  19. }
  20.  
  21. void init(int n)
  22. {
  23.     int i,j;
  24.     memset(mark,,sizeof(mark));
  25.     for(i=;i<n;i++)
  26.         for(j=;j<n;j++)
  27.             dis[i][j]=(i==j)?:INF;
  28. }
  29.  
  30. int main()
  31. {
  32.     //freopen("in.txt","r",stdin);
  33.     int i,j,u,v,w,op,cas=;
  34.     while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&q)!=EOF&&(n+m+q))
  35.     {
  36.         init(n);
  37.         for(i=;i<=m;i++)
  38.         {
  39.             scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
  40.             dis[u][v]=min(dis[u][v],w);
  41.         }
  42.         if(cas>) printf("\n");
  43.         printf("Case %d:\n",cas++);
  44.         for(i=;i<=q;i++)
  45.         {
  46.             scanf("%d",&op);
  47.             if(op==)
  48.             {
  49.                 scanf("%d",&u);
  50.                 if(mark[u])
  51.                     printf("ERROR! At point %d\n",u);
  52.                 else
  53.                 {
  54.                     mark[u]=;
  55.                     floyd(u);
  56.                 }
  57.             }
  58.             else
  59.             {
  60.                 scanf("%d%d",&u,&v);
  61.                 if(!mark[u]||!mark[v])
  62.                     printf("ERROR! At path %d to %d\n",u,v);
  63.                 else if(dis[u][v]==INF)
  64.                     printf("No such path\n");
  65.                 else
  66.                     printf("%d\n",dis[u][v]);
  67.             }
  68.         }
  69.     }
  70.     return ;
  71. }

HDU 3631

HDU 4034 Graph               //深入理解floyd ,思维锻炼

  1. # include<cstdio>
  2. # include<cstring>
  3. # include<algorithm>
  4. using namespace std;
  5.  
  6. # define N
  7. int dis[N][N];
  8. int vis[N][N];
  9.  
  10. int floyd(int n)
  11. {
  12.     int i,j,k,ans=n*(n-);
  13.     memset(vis,,sizeof(vis));
  14.     for(k=;k<=n;k++)
  15.         for(i=;i<=n;i++)
  16.             for(j=;j<=n;j++)
  17.             {
  18.                 if(dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j])
  19.                     return -;
  20.                 if(!vis[i][j]&&i!=k&&j!=k&&i!=j&&dis[i][k]+dis[k][j]==dis[i][j])
  21.                 {
  22.                     ans--;
  23.                     vis[i][j]=;
  24.                 }
  25.             }
  26.     return ans;
  27. }
  28.  
  29. int main()
  30. {
  31.     //freopen("in.txt","r",stdin);
  32.     int cas,T,i,j,n,ans;
  33.     scanf("%d",&T);
  34.     for(cas=;cas<=T;cas++)
  35.     {
  36.         scanf("%d",&n);
  37.         for(i=;i<=n;i++)
  38.             for(j=;j<=n;j++)
  39.                 scanf("%d",&dis[i][j]);
  40.         printf("Case %d: ",cas);
  41.         ans=floyd(n);
  42.         if(ans==-)
  43.             printf("impossible\n");
  44.         else
  45.             printf("%d\n",ans);
  46.     }
  47.     return ;
  48. }

HDU 4034

4. 个人总结

Floyd算法有很多其他的应用，需要不断的积累，但是我相信只要能理解好floyd的DP思想(每个k点插入或者不插入相关路径),很多问题多能迎刃而解.

附录:关于Floyd判断环的可行性

注：该附录未经严格验证,请读者认真思考 

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  1. floyd算法小结

    floyd算法是被大家熟知的最短路算法之一,利用动态规划的思想,f[i][j]记录i到j之间的最短距离,时间复杂度为O(n^3),虽然时间复杂度较高,但是由于可以处理其他相似的问题,有着广泛的应用,这 ...

  2. [图论]Dijkstra 算法小结

    Dijkstra 算法小结  By Wine93 2013.11 1. Dijkstra 算法相关介绍 算法阐述:Dijkstra是解决单源最短路径的算法,它可以在O(n^2)内计算出源点(s)到图中 ...

  3. 图论·Floyd算法·HDU2544&1874 （伪）2066

    在看到1874的题时,第一反应是用上一篇的并查集方法,后来查了一下是要用Floyd做,所以就去查Floyd算法的资料. 即插点法,是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法. 核心代码:  ma ...

  4. 图论——Floyd算法拓展及其动规本质

    一.Floyd算法本质 首先,关于Floyd算法: Floyd-Warshall算法是一种在具有正或负边缘权重(但没有负周期)的加权图中找到最短路径的算法.算法的单个执行将找到所有顶点对之间的最短路径 ...

  5. 【uva 10048】Audiophobia（图论--Floyd算法）

    题意:有一个N点M边的无向带权图,边权表示路径上的噪声值.有Q个询问,输出 x,y 两点间的最大噪声值最小的路径的该值.(N≤100,M≤1000,Q≤10000) 解法:N值小,且问多对点之间的路径 ...

  6. 图论（floyd算法）：NOI2007 社交网络

    [NOI2007] 社交网络 ★★   输入文件:network1.in   输出文件:network1.out   简单对比 时间限制:1 s   内存限制:128 MB [问题描述] 在社交网络( ...

  7. 图论之最短路径floyd算法

    Floyd算法是图论中经典的多源最短路径算法,即求任意两点之间的最短路径. 它可采用动态规划思想,因为它满足最优子结构性质,即最短路径序列的子序列也是最短路径. 举例说明最优子结构性质,上图中1号到5 ...

  8. 图论篇3——最短路径 Dijkstra算法、Floyd算法

    最短路径 问题背景:地图上有很多个城市,已知各城市之间距离(或者是所需时间,后面都用距离了),一般问题无外乎就是以下几个: 从某城市到其余所有城市的最短距离[单源最短路径] 所有城市之间相互的最短距离 ...

  9. 图论算法（二）最短路算法：Floyd算法！

    最短路算法(一) 最短路算法有三种形态:Floyd算法,Shortset Path Fast Algorithm(SPFA)算法,Dijkstra算法. 我个人打算分三次把这三个算法介绍完. (毕竟写 ...

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