【BZOJ4804】欧拉心算

Description

　　

　　给定数字\(n\)（\(n\le 10^7\))，求：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(\gcd(i,j))
\]

​　　多组数据输入，数据组数\(T\le5000\)。

　　

　　

　　

Solution

　　

​　　简单的一题，直接推导：

\[\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(\gcd(i,j))&=\sum_{d=1}^n\varphi(d)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac n d\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac n d\rfloor}[\gcd(i,j)==1]\\
&=\sum_{d=1}^n\varphi(d)(2\sum_{i=1}^{\lfloor \frac n d\rfloor}\varphi(i)-1)
\end{aligned}
\]

​　　发现后面一个括号带下取整，直接求出\(\varphi\)的前缀和，数论根号分块即可。

　　

　　

　　

Code

　　

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=10000001;
bool vis[N];
int p[N],pcnt;
ll phi[N];
void sieve(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!vis[i]){
            p[++pcnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=pcnt&&i*p[j]<N;j++){
            int x=i*p[j];
            vis[x]=true;
            if(i%p[j]==0){
                phi[x]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            phi[x]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
    }
    for(int i=2;i<N;i++) phi[i]+=phi[i-1];
}
int main(){
    sieve();
    int T,n;
    ll ans;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        ans=0;
        for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
            j=n/(n/i);
            ans+=(2LL*phi[n/i]-1)*(phi[j]-phi[i-1]);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}