【题解】洛谷P4707重返现世

　　在跨年的晚上玩手机被妈妈骂了赶来写题……呜呜呜……但是A题了还是很开心啦，起码没有把去年的题目留到明年去做ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ也祝大家2019快乐！

　　这题显然的 kth min-max 容斥就不说了，不会的还是百度吧……记录一下后面的 dp。感觉挺强强的，%题解……

　　首先，min - max 容斥的公式为 ： \(max_{K}(S) = \sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-K}\binom{|T|-1}{K-1}min(T)\)

　　但是最后面的 \(min(T)\) 显然不能 \(2 ^ {n}\) 枚举，但又是非线性的求和。所以我们需要一点不一样的dp……考虑到 \(n - K <= 10\)，实际上也就是说在上面公式中出现的 \(\binom{|T| - 1}{K - 1}\) 中的 \(K - 1\) 最大不会超过 11。从这个地方入手，设 在前 \(x\) 个元素组成的集合中， \(g_{x, i, j}\) 为所有 \(min(T) = j\) 且 \(|T| = i\) 的子集的方案数，

而\(f_{x, j, k} = \sum_{i = 1}(-1)^{i - k}\binom{i - 1}{k - 1}*g_{x, i, j}\)

考虑向集合中加入第 \(i\) 个元素，不加入的直接继承上一次的。

加入的则需要分析一下（下面的就只讨论包含第 \(i\) 个元素的情况）

考虑从 \(f_{x - 1, j - v, k - 1}\) 转移过来（\(v\) 为 \(p[i]\)）

分析：\(f_{x - 1, j - v, k - 1} = \sum_{i = 1}(-1)^{i - k + 1}\binom{i - 1}{k - 2}*g_{x - 1, i, j - v}\)

为了便于观察，我们尽量把 \(f_{x, j, k}\) 也写成一样的形式

\(f_{x, j, k} = \sum_{i = 1}(-1)^{i - k + 1}\binom{i}{k - 1}*g_{x - 1, i, j - v}\)

因为我们有 \(\binom{n}{m} = \binom{n - 1}{m}+\binom{n - 1}{m - 1}\)

所以 \(f_{x, j, k} - f_{x - 1, j- v, k - 1} = \sum_{i = 1}(-1)^{i - k + 1}\binom{i - 1}{k - 1}*g_{x, i, j - v} = -f_{x - 1, j - v, k}\)

所以，完整的式子是：

\(f_{x, j, k} = f_{x - 1, j, k} + f_{x - 1, j - v, k - 1} - f_{x - 1, j - v, k}\)

　　这样就可以愉快地递推啦。不过还有一个小小的细节，就是边界的问题。我们只需要每次保存 \(f_{x, 0, 0} = 1\) 即可，因为会从 \(0\) 转移出去的当且仅当 \(v = j\) 即集合中仅有一个元素时。此时显然有 \(f_{x, p[x], 1} = 1\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 2005
#define maxm 20000
#define mod 998244353
#define int long long
int n, K, m, f[][maxm][];
int ans, now, pre, p[maxn];
int inv[maxm], finv[maxm], fac[maxm];
 
int read()
{
    int x = , k = ;
    char c; c = getchar();
    while(c < '' || c > '') { if(c == '-') k = -; c = getchar(); }
    while(c >= '' && c <= '') x = x *  + c - '', c = getchar();
    return x * k;
}
 
void Up(int &x, int y) { x = (x + y) % mod; if(x < ) x += mod; }
void init()
{
    fac[] = , inv[] = inv[] = ; finv[] = ;
    for(int i = ; i < maxm; i ++) fac[i] = fac[i - ] * i % mod;
    for(int i = ; i < maxm; i ++) inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
    for(int i = ; i < maxm; i ++) finv[i] = finv[i - ] * inv[i] % mod;
}
 
int C(int n, int m)
{
    if(n < m || n <  || m < ) return ;
    return fac[n] * finv[m] % mod * finv[n - m] % mod;
}
 
int Qpow(int x, int timer)
{
    int base = ;
    for(; timer; timer >>= , x = x * x % mod)
        if(timer & ) base = base * x % mod;
    return base;
}
 
void DP()
{
    now = , pre = ; f[pre][][] = ;
    for(int i = ; i <= n; i ++, swap(now, pre), f[pre][][] = )
        for(int j = ; j <= m; j ++)
            for(int k = ; k <= K; k ++)
            {
                f[now][j][k] = f[pre][j][k];
                if(j < p[i]) continue;
                Up(f[now][j][k], f[pre][j - p[i]][k - ]);
                Up(f[now][j][k], -f[pre][j - p[i]][k]);
            }
}
 
signed main()
{
    n = read(), K = read(), m = read(); init();
    for(int i = ; i <= n; i ++) p[i] = read();
    K = n - K + ; DP();
    for(int i = ; i <= m; i ++)
        Up(ans, f[pre][i][K] * m % mod * inv[i] % mod);
    printf("%lld\n", ans);
    return ;
}