vijos次小生成树

xiaomengxian的哥哥是一个游戏迷，他喜欢研究各种游戏。这天，xiaomengxian到他家玩，他便拿出了自己最近正在研究的一个游戏给xiaomengxian看。这个游戏是这样的：一个国家有N个城市，有些城市之间可以建设铁路，并且不同城市之间建设铁路的费用各不相同。问如何用最小的费用，使整个国家的各个城市之间能够互相到达。另外，铁路是双向的。xiaomengxian心想，这不是太简单了吗？这就是经典的MST问题。他的哥哥说，这个当然不算什么。关键是它还要求费用第二小的方案，这真是让人伤脑筋。xiaomengxian想了很久，也没有想出来，你能帮助他吗？

费用第二小的方案的定义为：与费用最小的方案不完全相同，且费用值除费用最小的方案外最小。

同vijos 1070 网址：https://www.vijos.org/p/1070

题解：

次小生成树，就是求除了最小生成树之外最小的那个生成树。

下面介绍一下利用prim求次小生成树的主要步骤。

1.先求出来最小生成树。并将最小生成树任意两点之间路径当中的权值最大的那一条找出来，为什么要找最大的呢，因为生成树加入一条边之后一定构成了回路，那么肯定要去掉这个回路当中一条边才是生成树，那么，怎么去边才是次小的，那就去掉除了刚刚添加的一条边之外回路当中权值最大的一个，所以留下的就是最小的。

2.枚举最小生成树外的每一条边。找出最小的就是次小生成树。

代码如下，若还是不懂，代码中有注释，可自行参悟

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 int s,minn,g[][],m,x,y,z,ss,minn2,low[],pre[],low2[][];
 int i,mini,sum,n,t; bool b[],used[][];
 int main()
 {
      scanf("%d%d",&n,&m);
      for(i=;i<=n;i++)
      {
         g[i][i]=;
         for(int j=i+;j<=;j++)
             g[i][j]=g[j][i]=;
     }
     for(i=;i<=m;i++)
     {
         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
         g[y][x]=g[x][y]=z;//双向边
     }
     for(i=;i<=n;i++)
         low[i]=,pre[i]=i;
     pre[]=;
     low[]=;s=;ss=;
     int k,kk;
     while()
     {
         minn=;
         for(i=;i<=n;i++)
         {
             if(!b[i]&&low[i]<minn)
             {
                 minn=low[i];
                 mini=i;
             }
         }
         if(minn==)break;
         b[mini]=;
         s=s+minn;
         used[mini][pre[mini]]=used[pre[mini]][mini]=;
         for(i=;i<=n;i++)
         {
             if(b[i]&&i!=mini)low2[i][mini]=low2[mini][i]=max(low2[i][pre[mini]],low[mini]);//记录最小生成树上的路径最大值
             t=min(g[i][mini],g[mini][i]);
             if(!b[i]&&t<low[i])
                 low[i]=t,pre[i]=mini;//学过prim的都知道前半段是什么，后半句是记录路径
         }
     }
     printf("Cost: %d\n",s);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         for(int j=i+;j<=n;j++)
             if(g[i][j]!=&&!used[i][j])
                 ss=min(ss,s+g[i][j]-low2[i][j]);//枚举每一条边，看看替换该边是否有价值
     }
     if(ss==)ss=-;//如果没有边可以替换，即没有最小生成树，输出-1
     printf("Cost: %d",ss);
 }