[USACO07NOV]牛继电器Cow Relays (最短路,DP)

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Solution

1. 非正解
   
   似乎比较蛇啊,先个一个部分分做法,最短路+\(DP\).
   
   在求最短路的堆或者队列中存储元素 \(dis_{i,j}\) 代表 \(i\) 这个节点,走了 \(j\) 条边的距离.
   
   然后跑堆优化 \(Dijkstra\) 或者 SPFA 即可.
   
   复杂度 \(O(N*nlog(n))\).
   
   其中 \(N\) 代表要走的边条数, \(n\) 代表节点数 . 但是这题 \(N\) 有 \(10^6\) ...
   
   洛谷上可以过掉 \(49\) 分.
   
   不过只要 \(N\) 小一点,这个算法明显更优啊...

2. 正解
   
   虽然这题 \(N\) 很大,但是 \(n\) 超级小啊... 只有 \(10^2\) ...
   
   于是可以用 \(Floyd\) 跑最短路,然后呢??
   
   倍增。
   
   令 \(dis_{i,j,k}\) 代表从 \(i\) 到 \(j\) 走了 \(2^k\) 条边的最小距离.
   
   然后 \(Floyd\) 转移的时候利用和倍增跳 LCA 差不多的方式转移即可.
   
   (具体可以看代码)
   
   时间复杂度 \(O(n^3*log(N))\).

另外此题还需要一点离散化.

Code

49分:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=10008;
struct sj{int to,next,w;}a[maxn];
struct node{int u,k;};
int head[maxn],size,cnt;
int x[maxn],y[maxn],w[maxn];
int to[maxn],num,n,t,S,E;
map<int,int>dis[508],v[508];
map<int,int>js[508];
map<int,int>kkk;
int read()
{
    char ch=getchar(); int f=1,w=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch<='9'&&ch>='0'){w=w*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*w;
}
void add(int x,int y,int w)
{
    a[++size].to=y;
    a[size].next=head[x];
    head[x]=size;
    a[size].w=w;
}
void spfa()
{
    queue<node>q;
    q.push((node){S,0});
    dis[S][0]=0; v[S][0]=1;
    js[S][0]++;
    while(!q.empty())
    {
        node x=q.front();q.pop();
        int u=x.u,k=x.k;
        if(k==n)continue;
        for(int i=head[u];i;i=a[i].next)
        {
            int tt=a[i].to;
            if(!js[tt][k+1])dis[tt][k+1]=192608173,js[tt][k+1]++;
            if(dis[tt][k+1]>dis[u][k]+a[i].w)
            {
              dis[tt][k+1]=dis[u][k]+a[i].w;
              if(!v[tt][k+1])
              {
                q.push((node){tt,k+1});
                v[tt][k+1]=1;
              }
            }
        }
        v[u][k]=0;
    }
}
void pre()
{
    sort(to+1,to+num+1);
    int last=192608173;
    for(int i=1;i<=num;i++)
    {
        if(to[i]!=last)
        {
            kkk[to[i]]=++cnt;
            last=to[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        x[i]=kkk[x[i]],y[i]=kkk[y[i]];
        //cout<<x[i]<<' '<<y[i]<<endl;
        add(x[i],y[i],w[i]);
        add(y[i],x[i],w[i]);
    }
}
int main()
{
    n=read(); t=read(); S=read(); E=read();
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        w[i]=read();
        x[i]=read(); y[i]=read();
        to[++num]=x[i]; to[++num]=y[i];
    }
    pre(); S=kkk[S],E=kkk[E];
    spfa();
    cout<<dis[E][n]<<endl;
}

100分:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=10008;
struct node{int u,k;};
int cnt;
int x[maxn],y[maxn],w[maxn];
int to[maxn],num,n,t,S,E;
int dis[508][508][22],ans[508][508];
map<int,int>kkk;
int read()
{
    char ch=getchar(); int f=1,w=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch<='9'&&ch>='0'){w=w*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*w;
}
void floyd()
{
     for(int p=1;p<=20;p++)
     for(int k=1;k<=cnt;k++)
     for(int i=1;i<=cnt;i++)
     for(int j=1;j<=cnt;j++)
        dis[i][j][p]=min(dis[i][j][p],dis[i][k][p-1]+dis[k][j][p-1]);
}
void getans()
{
    memset(ans,127/2,sizeof(ans));
    int t=0,p=0;
    ans[0][S]=0;
    while(n)
    {
      if(n&1)
      {
          t=!t;
          for(int i=1;i<=cnt;i++)
          {
              ans[t][i]=2e9;
              for(int j=1;j<=cnt;j++)
              ans[t][i]=min(ans[t][i],ans[!t][j]+dis[i][j][p]);
          }
      }
      p++; n/=2;
    }
    cout<<ans[t][E];
}
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=10008;
struct node{int u,k;};
int cnt;
int x[maxn],y[maxn],w[maxn];
int to[maxn],num,n,t,S,E;
int dis[508][508][22],ans[508][508];
map<int,int>kkk;
int read()
{
    char ch=getchar(); int f=1,w=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch<='9'&&ch>='0'){w=w*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*w;
}
void floyd()
{
     for(int p=1;p<=20;p++)
     for(int k=1;k<=cnt;k++)
     for(int i=1;i<=cnt;i++)
     for(int j=1;j<=cnt;j++)
        dis[i][j][p]=min(dis[i][j][p],dis[i][k][p-1]+dis[k][j][p-1]);
}
void getans()
{
    memset(ans,127/2,sizeof(ans));
    int t=0,p=0;
    ans[0][S]=0;
    while(n)
    {
      if(n&1)
      {
          t=!t;
          for(int i=1;i<=cnt;i++)
          {
              ans[t][i]=2e9;
              for(int j=1;j<=cnt;j++)
              ans[t][i]=min(ans[t][i],ans[!t][j]+dis[i][j][p]);
          }
      }
      p++; n/=2;
    }
    cout<<ans[t][E];
}
void pre()
{
    sort(to+1,to+num+1);
    int last=192608173;
    for(int i=1;i<=num;i++)
    {
        if(to[i]!=last)
        {
            kkk[to[i]]=++cnt;
            last=to[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        x[i]=kkk[x[i]],y[i]=kkk[y[i]];
        dis[x[i]][y[i]][0]=dis[y[i]][x[i]][0]=w[i];
    }
}
int main()
{
    n=read(); t=read(); S=read(); E=read();
    memset(dis,127/3,sizeof(dis));
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        w[i]=read();
        x[i]=read(); y[i]=read();
        to[++num]=x[i]; to[++num]=y[i];
    }
    pre(); S=kkk[S],E=kkk[E];
    floyd();
    getans();
}
void pre()
{
    sort(to+1,to+num+1);
    int last=192608173;
    for(int i=1;i<=num;i++)
    {
        if(to[i]!=last)
        {
            kkk[to[i]]=++cnt;
            last=to[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        x[i]=kkk[x[i]],y[i]=kkk[y[i]];
        dis[x[i]][y[i]][0]=dis[y[i]][x[i]][0]=w[i];
    }
}
int main()
{
    n=read(); t=read(); S=read(); E=read();
    memset(dis,127/3,sizeof(dis));
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        w[i]=read();
        x[i]=read(); y[i]=read();
        to[++num]=x[i]; to[++num]=y[i];
    }
    pre(); S=kkk[S],E=kkk[E];
    floyd();
    getans();
}