初涉网络流[EK&dinic]
主要还是板子
Edmonds-Karp
从S开始bfs,直到找到一条到达T的路径后将该路径增广,并重复这一过程。
在处理过程中,为了应对“找到的一条路径把其他路径堵塞”的情况,采用了建反向弧的方式来实现“反悔”过程。
这种“反悔”的想法和技巧值得借鉴。
int maxFlow()
{
int ret = ;
for (;;)
{
memset(f, , sizeof f);
memset(bck, , sizeof bck);
std::queue<int> q;
f[S] = INF, q.push(S);
for (int tmp; q.size(); )
{
tmp = q.front(), q.pop();
for (int i=head[tmp]; i!=-; i=nxt[i])
{
int v = edges[i].v;
if (!f[v]&&edges[i].f < edges[i].c){
f[v] = std::min(f[tmp], edges[i].c-edges[i].f);
bck[v] = i, q.push(v);
}
}
if (f[T]) break;
}
if (!f[T]) break;
for (int i=T; i!=S; i=edges[bck[i]].u)
{
edges[bck[i]].f += f[T];
edges[bck[i]^].f -= f[T];
}
ret += f[T];
}
return ret;
}
Dinic
EK的效率是$O(nm^2)$的,它把很多时间浪费在了重复的搜索上面。
dinic有如下两个重要的定义:
- 层次$\text{level(x)}$:表示点$x$在层次图中与源点$S$的距离。
- 层次图:在原来的残量网络当中,只保留所有可被增广的边以及与之相连的点。
bfs建出来的层次图对于接下去的dfs增广具有一种“指导”作用。使用了反向弧技巧,意味着不管用什么方法,只需要找到一条增广路就行。在这种情况下,我们来考虑dfs增广的优劣之处:一方面它一旦找到一条增广路就能快速退出,比bfs的逐级外扩更高效;另一方面纯粹的dfs受搜索顺序的影响很大,因为(可以像卡SPFA以及某些图论算法一样)挂一些诱导节点附带数量巨大的边,就能置dfs于死地。但是这里dfs依靠建出来的层次图,每次只向距离+1的点搜索。这意味着我们避免了对同一个节点的重复搜索,或是偏离T方向浪费时间。
bool buildLevel()
{
memset(lv, , sizeof lv);
std::queue<int> q;
q.push(S), lv[S] = ;
for (int i=; i<=T; i++) cur[i] = head[i]; //tip1
for (int tmp; q.size(); )
{
tmp = q.front(), q.pop();
for (int i=head[tmp]; i!=-; i=nxt[i])
{
int v = edges[i].v;
if (!lv[v]&&edges[i].f < edges[i].c){
lv[v] = lv[tmp]+, q.push(v);
if (v==T) return true; //tip2
}
}
}
return false;
}
int fndPath(int x, int lim) //此处已更新,详情见下
{
if (x==T) return lim;
for (int &i=cur[x]; i!=-; i=nxt[i]) //tip1
{
int v = edges[i].v, val;
if (lv[x]+==lv[v]&&edges[i].f < edges[i].c){
if ((val = fndPath(v, std::min(lim, edges[i].c-edges[i].f)))){
edges[i].f += val, edges[i^].f -= val;
return val;
}else lv[v] = -; //tip3
}
}
cur[x] = head[x];
return ;
}
int dinic()
{
int ret = , val;
while (buildLevel())
while ((val = fndPath(S, INF))) ret += val;
return ret;
}
dinic有三个常见优化:
tip1当前弧优化:这个优化是针对边的,有些网络流的边数巨大。这个优化是为了确保在同一层次图的多次增广当中,可以实现“从上一次成功增广停下的地方再次开始”这一个功能。
tip2层次图优化:每次建层次图只需要达到T即可。
tip3堵塞点优化:姑且这么叫吧……在同一层次图下,一个点若未被增广则再也不会被增广了。
个人觉得tip3的效果最明显。tip1是为了少遍历一些边,但是节省的只不过是遍历(因为并不执行操作)的代价;tip2是看脸的优化;tip3应该算是强剪枝。
3.5upd:
今天写最大权闭合子图时候,才发现我学了个假的dinic.
当时是照着menci的 Dinic 学习笔记 学的dinic,然而今天才发现,menci的指针小常数真的是非常人可比拟的……
就拿bzoj1497: [NOI2006]最大获利来说吧:同样的流程结构,我结构体写法用时7.5s;menci的指针版本只需要0.75s(本地不开O2),这比我加满优化(包括改成以下这个写法)都要快得多……
dinic需要多路优化,而非以上dfs提到的每次寻找到一条增广路就退出。
正经的板子:
bool buildLevel()
{
std::queue<int> q;
memset(lv, , sizeof lv);
lv[S] = , q.push(S);
for (int i=; i<=T; i++) cur[i] = head[i];
for (int tmp; q.size(); )
{
tmp = q.front(), q.pop();
for (int i=head[tmp]; i!=-; i=nxt[i])
{
int v = edges[i].v;
if (!lv[v]&&edges[i].f < edges[i].c){
lv[v] = lv[tmp]+, q.push(v);
if (v==T) return true;
}
}
}
return false;
}
int fndPath(int x, int lim)
{
int sum = ;
if (x==T||!lim) return lim;
for (int i=cur[x]; i!=-&&sum <= lim; i=nxt[i])
{
int v = edges[i].v, val;
if (lv[x]+==lv[v]&&edges[i].f < edges[i].c){
if ((val = fndPath(v, std::min(lim-sum, edges[i].c-edges[i].f)))){
edges[i].f += val, edges[i^].f -= val;
sum += val;
}else lv[v] = -;
}
if (lim==sum) break; //小trick的效果是玄学致命的
}
cur[x] = head[x];
return sum;
}
int dinic()
{
int ret = , val;
while (buildLevel())
while ((val = fndPath(S, INF))) ret += val;
return ret;
}
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