平衡二叉树(AVL树)
参考资料
http://www.cnblogs.com/Cmpl/archive/2011/06/05/2073217.html
http://www.cnblogs.com/yc_sunniwell/archive/2010/06/27/1766236.html
http://www.cnblogs.com/suimeng/p/4560056.html
http://blog.csdn.net/gabriel1026/article/details/6311339
http://www.cnblogs.com/zhangbaochong/p/5164994.html
一、基本概念
平衡二叉查找树:
简称平衡二叉树。由前苏联的数学家Adelse-Velskil和Landis在1962年提出的高度平衡的二叉树,根据科学家的英文名也称为AVL树。它具有如下几个性质:
- 可以是空树。
- 假如不是空树,任何一个结点的左子树与右子树都是平衡二叉树,并且高度之差的绝对值不超过1
平衡二叉树一定是二叉查找树。
平衡因子:
左子树的高度减去右子树的高度。由平衡二叉树的定义可知,平衡因子的取值只可能为0,1,-1.分别对应着左右子树等高,左子树比较高,右子树比较高。
最小失衡子树:在新插入的结点向上查找,以第一个平衡因子的绝对值超过1的结点为根的子树称为最小不平衡子树。也就是说,一棵失衡的树,是有可能有多棵子树同时失衡的,如下。而这个时候,我们只要调整最小的不平衡子树,就能够将不平衡的树调整为平衡的树。
二、算法
平衡二叉树算法思想
若 向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系,使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后,原有其他所有不平衡子树无需调整,整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。失去平衡的最小子树是指以离插入结点最近,且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。假设用A表示失去平衡的最小子树的根结点,则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。
1. LL型
个人理解
左旋:旋转中心的父节点绕旋转中心向左下旋转
右旋:旋转中心的父节点绕旋转中心向右下旋转
平衡二叉树某一节点的左孩子的左子树上插入一个新的节点,使得该节点不再平衡。这时只需要把树向右旋转一次即可,如图所示,原A的左孩子B变为父结点,A变为其右孩子,而原B的右子树变为A的左子树,注意旋转之后Brh是A的左子树(图上忘在A于Brh之间标实线)
2. RR型
平衡二叉树某一节点的右孩子的右子树上插入一个新的节点,使得该节点不再平衡。这时只需要把树向左旋转一次即可,如图所示,原A右孩子B变为父结点,A变为其左孩子,而原B的左子树Blh将变为A的右子树。
3. LR型(最小失衡子树的根节点(A)的左孩子(B)的右孩子(C)为旋转点左旋,然后再以这个点(C)右旋)
平衡二叉树某一节点的左孩子的右子树上插入一个新的节点,使得该节点不再平衡。这时需要旋转两次,仅一次的旋转是不能够使二叉树再次平衡。如图所示,在B节点按照RR型向左旋转一次之后,二叉树在A节点仍然不能保持平衡,这时还需要再向右旋转一次。
4. RL型(最小失衡子树的根节点(A)的右孩子(B)的左孩子(C)为旋转点右旋,然后再以这个点(C)左旋)
平衡二叉树某一节点的右孩子的左子树上插入一个新的节点,使得该节点不再平衡。同样,这时需要旋转两次,旋转方向刚好同LR型相反。
删除节点
删除则稍微麻烦点,因为我们删的不一定是叶子,如果只是叶子,那就好办,如果不是呢?我们最通常的做法就是把这个节点往下挪,直到它变为叶子为止,看图。
也许你要问,如果和左子树最大节点交换后,要删除的节点依然不是叶子,那怎么办呢?那继续呗,看图:
那左子树不存在的情况下呢?你可以查找右子树的最小节点,和上面是类似的,图我就不画了。
三、示例代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#pragma once //平衡二叉树结点
template <typename T>
struct AvlNode
{
T data;
int height; //结点所在高度
AvlNode<T> *left;
AvlNode<T> *right;
AvlNode<T>(const T theData) : data(theData), left(NULL), right(NULL), height(){}
}; //AvlTree
template <typename T>
class AvlTree
{
public:
AvlTree<T>(){}
~AvlTree<T>(){}
AvlNode<T> *root;
//插入结点
void Insert(AvlNode<T> *&t, T x);
//删除结点
bool Delete(AvlNode<T> *&t, T x);
//查找是否存在给定值的结点
bool Contains(AvlNode<T> *t, const T x) const;
//中序遍历
void InorderTraversal(AvlNode<T> *t);
//前序遍历
void PreorderTraversal(AvlNode<T> *t);
//最小值结点
AvlNode<T> *FindMin(AvlNode<T> *t) const;
//最大值结点
AvlNode<T> *FindMax(AvlNode<T> *t) const;
private:
//求树的高度
int GetHeight(AvlNode<T> *t);
//单旋转 左
AvlNode<T> *LL(AvlNode<T> *t);
//单旋转 右
AvlNode<T> *RR(AvlNode<T> *t);
//双旋转 右左
AvlNode<T> *LR(AvlNode<T> *t);
//双旋转 左右
AvlNode<T> *RL(AvlNode<T> *t);
}; template <typename T>
AvlNode<T> * AvlTree<T>::FindMax(AvlNode<T> *t) const
{
if (t == NULL)
return NULL;
if (t->right == NULL)
return t;
return FindMax(t->right);
} template <typename T>
AvlNode<T> * AvlTree<T>::FindMin(AvlNode<T> *t) const
{
if (t == NULL)
return NULL;
if (t->left == NULL)
return t;
return FindMin(t->left);
} template <typename T>
int AvlTree<T>::GetHeight(AvlNode<T> *t)
{
if (t == NULL)
return -;
else
return t->height;
} //单旋转
//左左插入导致的不平衡
template <typename T>
AvlNode<T> * AvlTree<T>::LL(AvlNode<T> *t)
{
AvlNode<T> *q = t->left;
t->left = q->right;
q->right = t;
t = q;
t->height = max(GetHeight(t->left), GetHeight(t->right)) + ;
q->height = max(GetHeight(q->left), GetHeight(q->right)) + ;
return q;
} //单旋转
//右右插入导致的不平衡
template <typename T>
AvlNode<T> * AvlTree<T>::RR(AvlNode<T> *t)
{
AvlNode<T> *q = t->right;
t->right = q->left;
q->left = t;
t = q;
t->height = max(GetHeight(t->left), GetHeight(t->right)) + ;
q->height = max(GetHeight(q->left), GetHeight(q->right)) + ;
return q;
} //双旋转
//插入点位于t的左儿子的右子树
template <typename T>
AvlNode<T> * AvlTree<T>::LR(AvlNode<T> *t)
{
//双旋转可以通过两次单旋转实现
//对t的左结点进行RR旋转,再对根节点进行LL旋转
RR(t->left);
return LL(t);
} //双旋转
//插入点位于t的右儿子的左子树
template <typename T>
AvlNode<T> * AvlTree<T>::RL(AvlNode<T> *t)
{
LL(t->right);
return RR(t);
} template <typename T>
void AvlTree<T>::Insert(AvlNode<T> *&t, T x)
{
if (t == NULL)
t = new AvlNode<T>(x);
else if (x < t->data)
{
Insert(t->left, x);
//判断平衡情况
if (GetHeight(t->left) - GetHeight(t->right) > )
{
//分两种情况 左左或左右 if (x < t->left->data)//左左
t = LL(t);
else //左右
t = LR(t);
}
}
else if (x > t->data)
{
Insert(t->right, x);
if (GetHeight(t->right) - GetHeight(t->left) > )
{
if (x > t->right->data)
t = RR(t);
else
t = RL(t);
}
}
else
;//数据重复
t->height = max(GetHeight(t->left), GetHeight(t->right)) + ;
} template <typename T>
bool AvlTree<T>::Delete(AvlNode<T> *&t, T x)
{
//t为空 未找到要删除的结点
if (t == NULL)
return false;
//找到了要删除的结点
else if (t->data == x)
{
//左右子树都非空
if (t->left != NULL && t->right != NULL)
{//在高度更大的那个子树上进行删除操作 //左子树高度大,删除左子树中值最大的结点,将其赋给根结点
if (GetHeight(t->left) > GetHeight(t->right))
{
t->data = FindMax(t->left)->data;
Delete(t->left, t->data);
}
else//右子树高度更大,删除右子树中值最小的结点,将其赋给根结点
{
t->data = FindMin(t->right)->data;
Delete(t->right, t->data);
}
}
else
{//左右子树有一个不为空,直接用需要删除的结点的子结点替换即可
AvlNode<T> *old = t;
t = t->left ? t->left: t->right;//t赋值为不空的子结点
delete old;
}
}
else if (x < t->data)//要删除的结点在左子树上
{
//递归删除左子树上的结点
Delete(t->left, x);
//判断是否仍然满足平衡条件
if (GetHeight(t->right) - GetHeight(t->left) > )
{
if (GetHeight(t->right->left) > GetHeight(t->right->right))
{
//RL双旋转
t = RL(t);
}
else
{//RR单旋转
t = RR(t);
}
}
else//满足平衡条件 调整高度信息
{
t->height = max(GetHeight(t->left), GetHeight(t->right)) + ;
}
}
else//要删除的结点在右子树上
{
//递归删除右子树结点
Delete(t->right, x);
//判断平衡情况
if (GetHeight(t->left) - GetHeight(t->right) > )
{
if (GetHeight(t->left->right) > GetHeight(t->left->left))
{
//LR双旋转
t = LR(t);
}
else
{
//LL单旋转
t = LL(t);
}
}
else//满足平衡性 调整高度
{
t->height = max(GetHeight(t->left), GetHeight(t->right)) + ;
}
} return true;
} //查找结点
template <typename T>
bool AvlTree<T>::Contains(AvlNode<T> *t, const T x) const
{
if (t == NULL)
return false;
if (x < t->data)
return Contains(t->left, x);
else if (x > t->data)
return Contains(t->right, x);
else
return true;
} //中序遍历
template <typename T>
void AvlTree<T>::InorderTraversal(AvlNode<T> *t)
{
if (t)
{
InorderTraversal(t->left);
cout << t->data << ' ';
InorderTraversal(t->right);
}
} //前序遍历
template <typename T>
void AvlTree<T>::PreorderTraversal(AvlNode<T> *t)
{
if (t)
{
cout << t->data << ' ';
PreorderTraversal(t->left);
PreorderTraversal(t->right);
}
}
cpp
#include "AvlTree.h" int main()
{
AvlTree<int> tree;
int value;
int tmp;
cout << "请输入整数建立二叉树(-1结束):" << endl;
while (cin >> value)
{
if (value == -)
break;
tree.Insert(tree.root,value);
}
cout << "中序遍历";
tree.InorderTraversal(tree.root);
cout << "\n前序遍历:";
tree.PreorderTraversal(tree.root);
cout << "\n请输入要查找的结点:";
cin >> tmp;
if (tree.Contains(tree.root, tmp))
cout << "已查找到" << endl;
else
cout << "值为" << tmp << "的结点不存在" << endl;
cout << "请输入要删除的结点:";
cin >> tmp;
tree.Delete(tree.root, tmp);
cout << "删除后的中序遍历:";
tree.InorderTraversal(tree.root);
cout << "\n删除后的前序遍历:";
tree.PreorderTraversal(tree.root);
}
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