1～N任意三个数最大的最小公倍数(Java版)

最大最小公倍数

如题

话不多说，直接上代码

public class MaxCommonMultiple{
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        long n = sc.nextLong();
        System.out.println(getResult(n));

    }

    public static long getResult(long n)
    {
        if(n<=2)
        {
            return n;
        }
        else if(n%2!=0)
        {
            return n*(n-1)*(n-2);//如果是奇数，这三个数肯定两两互质
        }
        else
        {
            if (n%3==0)return (n-1)*(n-2)*(n-3);
            else return n*(n-1)*(n-3);
        }
    }
}

一枝猪对于以上代码的解释：

• 如果是奇数，不必多说，相连的奇偶奇数一定是互质的，相乘结果即为答案；

• 如果是偶数，那么n(n-1)(n-2)肯定有公因数2。所以上述结果不成立，由于n是偶数，那么n-1肯定为奇数。

  这时需要分两种情况讨论：

  • 如果n能被3整除，则(n-1)(n-2)(n-3)肯定为最大最小公倍数；
  • 否则n(n-1)(n-3)为最大最小公倍数。

  仔细思考你就会明白，如果n能被三整除，那么n和n-3肯定有公因数三，这两个数就不是互质的数了。
  
  自然而然，求出来的就不是最大最小公倍数了。

一棵球对于一枝猪解释的补充：

> 证明两个数互质：

> **当两个数的最大公约数为1／最小公倍数为两个数的乘积，则这两个数互质**

> ( 以下补充若未说明则均容易用辗转相除法判断[ `a%b = c, (a>b)`, 则a和b的最大公因数等于b和c的最大公因数 ] )

> (以下`n` `k` `i`均为整数)

要求的结果显然是能够用1～N之间的互质的三个数作为乘数相乘的结果，为了使这个数最大，我们从最大的数开始往小数找这三个互质的数。

N为奇数

首先相邻的两个整数可证一定是互质的，相邻的两个奇数也可证一定是互质的。 于是，相邻的奇偶奇数一定是两两互质的，所以一枝猪描述的关于当n是奇数时的解决方案n*(n-1)*(n-2)一定最大，完全正确。

N为偶数

当n是偶数，这是不好判断的一种情况。

但我们知道n-1一定是奇数，则(n-1)*(n-2)*(n-3)可以作为一个候选的结果，现在我们要找是不是有比这还大的结果。显然，这个更大的最终结果一定是包含n这个因数的，所以其他的因数一定与n互质。

一枝猪用3作为第二个判断条件（即n与6的余数关系），是因为，在偶奇偶的情况下，n与n-2一定是不互质的，这时候要往下在找一个数n-3，这时，需要判断n与n-3是否互质。

• 若n为6k，6k与6k-1显然互质，6k与6k-3、6k与6k-4显然不互质，6k与6k-5可证在k不为5i的情况下互质；则n*(n-1)*(n-5)是除(n-1)*(n-2)*(n-3)最大的可能解；

  接下来我们比较n*(n-1)*(n-5)与(n-1)*(n-2)*(n-3)的大小关系，乘开之后易证，当n>3/16时，[(n-1)*(n-2)*(n-3)]>[n*(n-1)*(n-5)];

  显然，(n-1)*(n-2)*(n-3)就是这种情况下的解。

• 若n为6k+2，6k+2与6k显然不互质，6k+2与6k+1、6k-1显然两两互质，于是n*(n-1)*(n-3)可能为这种情况的解。

  同理可得，n*(n-1)*(n-3)可能为n为6k+4时的解。

  显然，[n*(n-1)*(n-3)]>[(n-1)*(n-2)*(n-3)]；所以，这种情况下的解为n*(n-1)*(n-3)。

update by 2017/4/2 17:15

by 一枝猪&一棵球

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