2019 南昌ICPC网络赛H The Nth Item
题意:F(0)=1,F(1)=1,F(n)=3*F(n-1)+2*F(n-2) (n>=2) ,F(n) mod 998244353。给出Q跟N1,Ni=Ni-1^(F(Ni-1)*F(Ni-1)),求F(N1)^F(N2)^...^F(NQ)
这个比赛的E跟H数据都水得很,但题还是不错的。
比赛时是求了个循环节,又进行了矩阵的降幂,然后本地+测试在时限内跑出了几组1e7的数据,才敢交的,但没想到数据那么水,矩阵快速幂+map记忆化一下就能过。
#include<cstdio>
#include<tr1/unordered_map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+,md=;
tr1::unordered_map<ll,int> mmp;
ll aa[N],f[N];
struct Matrix{
int r,c;
ll a[][];
Matrix(){}
Matrix(int r,int c):r(r),c(c){
for(int i=;i<r;i++)
for(int j=;j<c;j++) a[i][j]=;
}
};
Matrix mmul(Matrix m1,Matrix m2,ll z){
Matrix ans(m1.r,m2.c);
for(int i=;i<m1.r;i++)
for(int j=;j<m2.c;j++)
for(int k=;k<m1.c;k++){
ans.a[i][j]+=m1.a[i][k]*m2.a[k][j]%z;
if(ans.a[i][j]>=z) ans.a[i][j]-=z;
}
return ans;
}
Matrix mpow(Matrix m1,ll y,ll z){
Matrix ans(m1.r,m1.c);
for(int i=;i<ans.r;i++) ans.a[i][i]=;
while(y){
if(y&) ans=mmul(ans,m1,z);
m1=mmul(m1,m1,z);
y>>=;
}
return ans;
} int main(){
f[]=;f[]=;
for(int i=;i<N;i++) f[i]=(f[i-]*3ll%md+f[i-]*2ll%md)%md;
int q,pos1,pos2,len,num,yu;
ll n,m,ans;
while(~scanf("%d%lld",&q,&n)){
ans=aa[]=;
mmp.clear();
pos1=pos2=-;
for(int i=;i<=q;i++){
if(n<N) aa[i]=f[n];
else{
m=n-;
if(m>=md-) m%=md-;
Matrix A(,),T(,);
A.a[][]=;
T.a[][]=;T.a[][]=;T.a[][]=;
T=mpow(T,m,md);
A=mmul(T,A,md);
aa[i]=A.a[][];
}
if(n==) break;
if(mmp[n]){
pos1=mmp[n];
pos2=i;
break;
}
else mmp[n]=i;
ans^=aa[i];
n=n^(aa[i]*aa[i]);
aa[i]^=aa[i-];
}
if(pos1!=-){
len=pos2-pos1;
num=(q-pos2+)/len;
yu=(q-pos2+)%len;
if(num&) ans^=aa[pos2-]^aa[pos1-];
if(yu) ans^=aa[pos1+yu-]^aa[pos1-];
}
printf("%lld\n",ans);
}
return ;
}
不应该过呀
但其实自己想一下,Q等于1e7,中间再套log的话,还有算矩阵快速幂时的一些常数,很明显就会T掉,水过去之余还是来学一些O(1)的处理方法。
首先这个数列显然是个线性递推数列,那么我们就可以求它的一个通项公式,具体求法360百科有好几个,我直接学习了第一个,方法:利用特征方程(线性代数解法)的解法。
下面是斐波那契数列通项公式的求解过程,我们依照此来求:
特征方程的概述
一个数列:X(n+2)=C1X(n+1)+C2Xn
设r,s使X(n+2)-rX(n+1)=s[X(n+1)-rXn]
所以X(n+2)=(s+r)X(n+1)-srXn
C1=s+r
C2=-sr
消去s就导出特征方程式 r*r-C1*r-C2=0
我们把C1=3,C2=2代入就有可以解除r=(3+√17)/2,s=(3-√17)/2
然后F(n)=x1*rn+x2*sn,我们把F(0)=0,F(1)=1,代入就能解得x1=1/√17,x2=-1/√17
那么上诉数列的通项公式就是F(n)=1/√17*(((3+√17)/2)n-((3-√17)/2)n)
这个解法包含不少线性代数的知识,不明白的可以去学一下那个待定系数等比数列求法,或者看一下这个斐波那契数列通项公式是怎样推导出来的?,里面有矩阵的推导过程。
回到这题,我们有了通项公式,√17的话,前面的博客就有讲到二次剩余,那么通过x2≡17(mod 998244353)可以求出x来代替√17,然后里面的除法我们可以求逆元,这些都可以先求出了。
相关代码如下:
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int md=;
typedef long long ll;
struct Fp2{
ll x,y;
};
ll w;
Fp2 fmul(const Fp2 &f1,const Fp2 &f2){
Fp2 ans;
ans.x=(f1.x*f2.x%md+f1.y*f2.y%md*w%md)%md;
ans.y=(f1.x*f2.y%md+f1.y*f2.x%md)%md;
return ans;
}
Fp2 fpow(Fp2 x,ll y){
Fp2 ans;
ans.x=;ans.y=;
while(y){
if(y&) ans=fmul(ans,x);
x=fmul(x,x);
y>>=;
}
return ans;
}
ll poww(ll x,ll y){
ll ans=;
while(y){
if(y&){
ans*=x;
if(ans>=md) ans%=md;
}
x*=x;
if(x>=md) x%=md;
y>>=;
}
return ans;
}
ll cipolla(ll x){
if(x==) return ;
if(x==) return ;
if(poww(x,(md-)>>)+==md) return -;
ll a;
while(true){
a=rand()%md;
w=((a*a%md-x)%md+md)%md;
if(poww(w,(md-)>>)+==md) break;
}
Fp2 ans;
ans.x=a;ans.y=;
ans=fpow(ans,(md+)>>);
return ans.x;
}
int main(){
srand(time(NULL));
ll py17=cipolla(),nv2=poww(,md-);
printf("根号17的二次剩余:%lld\n",py17);
printf("2的逆元:%lld\n",nv2);
printf("根号17的二次剩余的逆元:%lld\n",poww(py17,md-));
printf("3+根号7除2:%lld\n",((+py17)%md*nv2%md)%md);
printf("3-根号7除2:%lld\n",(((-py17)%md+md)%md*nv2%md)%md);
return ;
}
打表鸭
其中一组结果:
那么这时,我们设aa=736044383,bb=262199973,我们快速幂就可以log求出F(n)
但这还不够,我们需要的是O(1),所以我们可以先分块预处理。
怎么做呢,这时的aa,bb在 mod 998244353的意义下,已经是整数了,所以求aan或者bbn在n很大时,就可以进行我们前面指数循环节里的欧拉降幂了,也就是n=n%998244352+998244352(998244352是998244353是欧拉函数)
这时n最大是1996488703,√1996488703=44682.084810357719028060186400879,那么我们可以把5e4(大于等于44683都可以)为一组分块,这样我们先预处理出aa跟bb的0次幂,1次幂,到5e4次幂,然后再预处理0*5e4次幂,1*5e4次幂到5e4*5e4次幂
那么当我们要求aa或者bb的n次幂时其实就是求(n/5e4)(整除)*5e4次幂 * n%5e4次幂,也就是设N=5e4,那么 n=q*N+r,q=n/N,r=n%N
这样我们就可以在O(1)求出相应的F(n),
#include<cstdio>
typedef long long ll;
const int N=5e4,md=;
const ll nv17=,aa=,bb=;
typedef long long ll;
ll a[N+],af[N+],b[N+],bf[N+];
void init(){
a[]=b[]=;
for(int i=;i<=N;i++){
a[i]=a[i-]*aa;
if(a[i]>=md) a[i]%=md;
b[i]=b[i-]*bb;
if(b[i]>=md) b[i]%=md;
}
af[]=bf[]=;
for(int i=;i<=N;i++){
af[i]=af[i-]*a[N];
if(af[i]>=md) af[i]%=md;
bf[i]=bf[i-]*b[N];
if(bf[i]>=md) bf[i]%=md;
}
}
int main(){
init();
int q;
ll n;
while(~scanf("%d%lld",&q,&n)){
ll ans=,fn,m;
while(q--){
if(n==) break;
m=n;
if(m>=md-) m=m%(md-)+(md-);
fn=((af[m/N]*a[m%N])%md)-((bf[m/N]*b[m%N])%md);
fn=(fn%md+md)%md;
fn*=nv17;
if(fn>=md) fn%=md;
ans^=fn;
n=n^(fn*fn);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return ;
}
嘤嘤嘤
但由于数据的问题,预处理在计蒜客上实际运行时间还没直接套矩阵快速幂的快,自己出几个大数据就可看出哪个更快了,但我们不要被数据影响了,学到东西才是关键了。
总的来说,这题涉及到了线性递推数列的通项公式,二次剩余,逆元,还有分块思想,是个很不错的题。
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