hihoCoder #1639 图书馆

题目大意

给定 $n$（$1\le n\le 1000$）个正整数 $a_1, a_2, \dots, a_n$（$a_i \le 10^{12}$），令 $s$ 为这 $n$ 个数之和。求
$$
\frac{s! } {\prod\limits_{1\le i\le n} a_i !} \bmod 10
$$

解法

中国剩余定理。

设上式中左边的商为 $x$，先分别求出 $x \bmod 2$ 和 $x\bmod 5$， 再利用中国剩余定理就可求得答案。

这个问题归结为：
对于素数 $p$ 和正整数 $n$，将 $n!$ 写成 $n! = ap^{k}$，且 $p$ 不是 $a$ 的因子。求 $a$ 和 $k$ 。

不难发现：
设 $n$ 的 $p$-进制展开式为
$$ n = b_0 + b_1 p + b_2 p^2 + \dots + b_r p^r \qquad ( 0 \le b_i \in \mathbb{Z} < p, b_r > 0) $$

则有
\begin{align}
k & = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + \dots + [n/p^r] \\
a & \equiv (p-1)!^{k} b_0! b_1! \dots b_r! \pmod{p} \label{Eq:2}
\end{align}

其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。
（令 $B = b_0 + b_1 + ... + b_r$，不难证明，$k$ 还可以写成 $k = \frac{n - B}{p-1}$）

根据 Wilson 定理，\eqref{Eq:2} 可写成
\begin{equation}
a \equiv (-1)^{k} b_0! b_1! \dots b_r ! \pmod{p}
\end{equation}

算法的复杂度为 $O(p + \log_p n)$ 。

从这个问题中积累的新模型
一、$\frac{A}{B}\bmod p$（$B$ 能整除 $A$ 且 $p$ 是素数）的解法。
二、$n! \bmod p$（$p$ 是素数） 的解法。

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下面考虑：模数不是 $10$ 而是 $20$ 的情况下，此题如何求解。

仍循旧思路，采用中国剩余定理，我们需要求出 $x \bmod 4$；按旧办法求当然是可以的。注意：由于要预处理出 $0$ 到 $p-1$ 的阶乘，所以（对于旧思路）能否用 Wilson 定理并不影响复杂度。

如果模数的某个素因子的次数 $k$ 很高，求 $x \bmod p^k$ 的复杂度 $O(p^k + \log_{p^k} n)$ 就不能容忍了。很自然地，我们会考虑 $x\bmod p$ 与 $x\bmod p^k$ 之间的关系。
（留坑）