注意:此讲适合联赛一试学生,以及参加清华北大等名校的自主招生的学生.

经典计数之分配问题:把n个球放进k个盒子。考虑分配方法有三类:1.无限制 2.每个盒子至多一个(f 单的)3.每个盒子至少一个(f 满的).球和盒子都只考虑两种极端情况:全同或全不同。这样一共会有3*2*2=12种分配情况,如下:

证明:

1.略

2.此时只考虑$k\ge n$这种有意义情况,由分步计数原理易得$(k)_n=k(k-1)\cdots(k-n+1)$

3.此时只考虑$n\ge k$这种有意义情况,第一步将n球分成k部分有$S(n,k)$种方法,第二步

分好的k部分球放到$k$个不同的盒子里有$k!$种排法.所以完成这件事情一共有$k!S(n,k)$种方法.

这里$S(n,k)$定义如下:

4.方程$x_1+x_2+\cdots+x_k=n$的非负整数解.

5.此时只考虑$k\ge n$这种有意义情况,由于“f单”意味着每个盒子里至多放一个球,只需

$k$个盒子里取$n$个,然后取出的盒子各放一个球。

6.方程$x_1+x_2+\cdots+x_k=n$的正整数解.

7.$n$元集至多分成$k$部分.

8.定义

9.$n$元集的$k$部分拆数为第二类$stirling$数$S(n,k)$

10.正整数$n$至多分成$k$个部分。这里分拆数$p(n,k)$定义如下:

注意:这里说的分拆是不计较各部的次序的,比如4的分拆为2,1,1一种。但4的有序分拆有三个(2,1,1);(1,2,1);(1,1,2).一般而言有序分拆好处理.比如$n$的$k$部有序分拆就是$x_1+x_2+\cdots+x_k=n$的正整数个数.

显然$p(n,1)=p(n,n-1)=p(n,n)=1;p(n,2)=[\frac{n}{2}]$,当$k>n$时$p(n,k)=0$一般的$p(n,k)$没有简单的表示方法.

注:$(n_1,n_2,\cdots,n_k)_{\ge}$表示$n_1\ge n_2\ge \cdots \ge n_k\ge1$

原则上所有$p(n,k)$可有递推式逐个求得,例如:

11.定义

12.只需考虑$n\ge k$的情况,正整数$n$的$k$部分拆$p(n,k)$

注:当然除了这12种情况外还有一些情况,比如盒子中有部分相同部分不同。但往往这样

的情况的考察意义不大,因为很难期望会有一般的计数公式.

MT【100】经典计数之分配问题的更多相关文章

  1. 100+经典Java面试题及答案解析

    面向对象编程(OOP) Java是一个支持并发.基于类和面向对象的计算机编程语言.下面列出了面向对象软件开发的优点: 代码开发模块化,更易维护和修改. 代码复用. 增强代码的可靠性和灵活性. 增加代码 ...

  2. HDU 4901 多校4 经典计数DP

    RT 最近不想写博客,累积了一周多的题目,今天趁着周日放假,全部补上吧 dp[i][j]表示前i个数,操作后的值为j的总个数 注意取或不取,有种完全背包的意味.因为数字小于1024,所以异或的结果也绝 ...

  3. ACM组合计数入门

    1 排列组合 1.1 排列 \[A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} \] 定义:从 n 个中选择 m 个组成有序数列,其中不同数列的数量. ...

  4. 从零开始山寨Caffe·肆:线程系统

    不精通多线程优化的程序员,不是好程序员,连码农都不是. ——并行计算时代掌握多线程的重要性 线程与操作系统 用户线程与内核线程 广义上线程分为用户线程和内核线程. 前者已经绝迹,它一般只存在于早期不支 ...

  5. NOIP2017 国庆郑州集训知识梳理汇总

    第一天 基础算法&&数学 day1难度测试 如果要用一个词来形容上午的测试,那真是体无完肤.  成绩: 题目 成绩 评价 T1 50 一般 T2 10 大失所望 T3 0 差 基础算法 ...

  6. java笔记整理

    Java 笔记整理 包含内容     Unix Java 基础, 数据库(Oracle jdbc Hibernate pl/sql), web, JSP, Struts, Ajax Spring, E ...

  7. Phrase-Based & Neural Unsupervised Machine Translation基于短语非监督机器翻译

    1. 前言 本文介绍一种无监督的机器翻译的模型.无监督机器翻译最早是<UNSUPERVISED NEURAL MACHINE TRANSLATION>提出.这个模型主要的特点,无需使用平行 ...

  8. shell脚本57问

    [1]交互方式.非交互方式.Shell脚本是什么? 经常与linux打交道,肯定对shell这个词不陌生.不明白shell意思的,可以自行翻译:外壳.去壳. 这个翻译结果怎么可以与计算机系统联系起来呢 ...

  9. 推荐书单(转自GITHUB)

    Skip to content PersonalOpen sourceBusinessExplore Sign upSign in PricingBlogSupport   This reposito ...

随机推荐

  1. python在输出一段话中插入多个变量,每日作业补充

    %s用来插入用户输入的值name=input('请输入您的姓名:')age=input('请输入您的年龄:')sex=input('你的性别:')print('-------您好!%s------\n ...

  2. 几个PHP读取整个文件的函数readfile()、fpassthru()和file()

    2.7.4   读取整个文件:readfile().fpassthru()和file()除了可以每次读取文件一行外,还可以一次读取整个文件.PHP提供了4种不同的方式来读取整个文件.第一种方式是rea ...

  3. Django Rest Framework源码剖析(六)-----序列化(serializers)

    一.简介 django rest framework 中的序列化组件,可以说是其核心组件,也是我们平时使用最多的组件,它不仅仅有序列化功能,更提供了数据验证的功能(与django中的form类似). ...

  4. 20155226 《网络对抗》Exp 8 Web基础

    20155226 <网络对抗>Exp 8 Web基础 实践内容 1.Web前端HTML 配置环境 正常安装.启动Apache 安装:sudo apt-get install apache2 ...

  5. 汇编 shr 逻辑右移指令,shl 逻辑左移指令,SAL 算术左移指令,SAR 算术右移指令

    知识点: shr 逻辑右移指令 shl 逻辑左移指令 一.SHL 逻辑左移指令测试 shr 逻辑右移指令 右移一位相当于整除2 shl 逻辑左移指令 左移一位相当于乘2 //很多时候会溢出 //& ...

  6. 搭建SpringBoot、Jsp支持学习笔记

    Spring Boot 添加JSP支持 大体步骤: (1)            创建Maven web project: (2)            在pom.xml文件添加依赖: (3)     ...

  7. JavaScript快速入门-ECMAScript基础语法

    一.JavaScript引入方式 1.行内式 <script> alert(123); </script> 2.外链式 <script src='custom.js'&g ...

  8. 起步 - vue-router路由与页面间导航

    vue-router 我们知道路由定义了一系列访问的地址规则,路由引擎根据这些规则匹配找到对应的处理页面,然后将请求转发给页进行处理.可以说所有的后端开发都是这样做的,而前端路由是不存在"请 ...

  9. laraver框架学习------工厂模型填充测试数据

    在laravel中填充数据有几种方式.一种是Seeder,另一种是工厂模式进行的填充. 工厂模式可以实现大批量的填充数据,数据的量可以自定义.这也为后续的软件测试提供方便. 在laravel框架有da ...

  10. OpenCV学习资源库

    整理了我所了解的有关OpenCV的学习笔记.原理分析.使用例程等相关的博文.排序不分先后,随机整理的.如果有好的资源,也欢迎介绍和分享. 1:OpenCV学习笔记 作者:CSDN数量:55篇博文网址: ...