MT【199】映射的个数

(2018中科大自招)
设$S=\{1,2,3,4,5\}$则满足$f(f(x))=x$的映射:$S \longrightarrow S$的个数____
解答:由于$a\ne b$时必须满足$f(a)=b,f(b)=a$
故按$(a,b)$的点对个数分类:0对有1个;1对$C_5^2$个;2对$\dfrac{C_5^2C_3^2}{2}$ 个;故一共有$1+10+15=26$个.

推广:
设$S=\{1,2,\cdots,n\}$则满足$f(f(x))=x$的映射:$S \longrightarrow S$的个数____
提示:我们可以构造递推式:设$a_n$为满足此映射的个数;则
\begin{equation*}
\left\{ \begin{aligned}
a_{n+1}&=a_n+na_{n-1}\\
a_1=1&;a_2=2
\end{aligned} \right.
\end{equation*}

此类题型很多:

1.（2006浙江高考改编)

设$S=\{1,2,3\}$则满足$f(f(x))=f(x)$的映射:$S \longrightarrow S$的个数___
提示:共有10种
2.(日本,1996)
设$S=\{1,2,3,4,5,6\}$则满足$f(f(f(x)))=x$的映射:$S \longrightarrow S$的个数___
提示:共有81种.
3.(浙江,2006)
设$S=\{1,2,\cdots,10\}$则满足$f^{(21)}(x)=x,\textbf{且}f(x)\ne x$的映射:$S \longrightarrow S$的个数____
提示:一共有$C_{10}^76!2!$个