算法生成N芒星

前面两个图像生成算法是：道教的太极八卦图和佛教的卐和卍字图。这一节整个洋气的图像:芒星。但愿我别召唤出什么恐怖的禁忌，尤其今晚还是万圣节之夜。平时看玄幻小说,经常读到有关六芒星,七芒星,九芒星的技法。芒星是由几个完全的等腰三角形（有时是正三角形）和一个正多边形组成的二维图形。等腰三角形的个数与正多边形的边数相等。由五个等腰三角形和正五边形组成的图形叫“五芒星”（俗称：五角星）。由六个等腰三角形和正六边形组成的图形叫“六芒星”……依此类推。芒星在美学、历史和占卜都有着很大的用处。

芒星在生活中与我们息息相关，我们常说的“五角星”也是芒星的一种。五芒星的五个顶点都代表不同的元素，分别是地、水、火、风及象征人类精神力量的第五元素，而五芒星亦是在魔法中是常被使用的符号，因为其整体一看就像一个人的身体，最顶一点为头部，其余为四肢。在圣经中，人是被创造者，而五芒星也含有被创造之意，这就和四元素及人体相对应。当顶点指向天时，那便代表圣力。

Tantrism派认为，六芒星形中尖端向下的三角形是卡利·玛的象征物“女阴”的符号，除了倒三角形之外，它也表示为鱼、两端尖锐的椭圆形、马蹄、蛋等图形。因此这个倒三角被称为“女阴的图象”即“Yoni Yantra”，其中“Yantra”是Tantrism派所认为的“冥想的图象”，是适用于眼睛的图象，和“适用于耳的图象”－“真言”（Mantra－曼荼罗，象征为八叶莲花）互为表里。倒三角形代表了万物之源－宇宙之母，表示盛满宇宙之母体液（力量）的容器。

在西方，7被认为是一个很有魔力的数字。被神秘学视为意义上更复杂的芒星，力量也更强大的图案。关于七芒星的资料： 1 .七芒星很难被准确地画出，因为七芒星是“不平均却稳定的一体” 2.七芒星分为“正七芒星”与“逆七芒星” 3.关于“七芒星魔法阵”也是众说纷纭 4.七芒星魔法阵的功效被记载得不多，只知道大概可以用来召唤超能。因此没有任何魔法师或者术士敢使用，七芒星因此成了禁忌。传说一笔画出过完美七芒星的人有的说看见了炽天使长米迦勒，有的说看见了地狱魔君路西法，也有人说看见了天堂的生命树，甚至有人说看见了末日。

八芒星与卐字符号是遍布于我国广大地域多个民族的文化符号。有学者认为神秘的卐字符号其实是八角星纹的简化变体，它们都代表了太阳在一个回归年的视循环运动，即一年四季的循环变化。 八角星让人想起罗盘、六分仪、舵，像是朝向八方的宝剑。八角星的八个角代表八个方向，意为绝对的混沌或混沌能量的八种形态（天地风雷水火山泽）。

这篇文章中提供了两套生成芒星的算法，先看第一个：

void            CPixelNStar::ResetN()
{
    m_n = (unsigned int)m_params[];
    if (m_n < )
    {
        m_n = ;
    }
    else if (m_n > )
    {
        m_n = ;
    }

    float radius = 400.0f;

    for (unsigned int i = ; i < m_n; i++)
    {
        m_listPoints[i].x = radius*sinf((i - 0.5f)**PI/m_n);
        m_listPoints[i].y = radius*cosf((i - 0.5f)**PI/m_n);
    }
}

unsigned int    CPixelNStar::CalculatePixel(unsigned int x, unsigned int y)
{
    unsigned int red = 0xffff0000;
    unsigned int yellow = 0xffffc000;
    unsigned int gray = 0xff808080;

    Vec2 P(x - 512.0f, y - 512.0f);

    bool bCenter = true;
    for (unsigned int i = ; i < m_n; i++)
    {
        Vec2& v = m_listPoints[i];
        Vec2& vL1 = m_listPoints[(i + m_n - )%m_n];
        Vec2& vL2 = m_listPoints[(i + m_n - )%m_n];
        Vec2& vR1 = m_listPoints[(i + )%m_n];
        Vec2& vR2 = m_listPoints[(i + )%m_n];

        if (!IsPointInAngle(vL2, v, vR2, P))
        {
            bCenter = false;
        }
        else if (IsSameSide(vL1, vR1, v, P))
        {
            return red;
        }
    }

    return bCenter ? yellow : gray;
}

关于结构体Vec2的定义及相关函数见：二维平面上判断点在三角形内的最优算法

生成图像有：

五芒星

六芒星

七芒星

八芒星

九芒星

十芒星

十一芒星

十二芒星

十三芒星

二十三芒星

百度上说：任何芒星都可以一笔画出，并且起笔点和结束点在同一位置。不过这个“一笔”说得太笼统，N芒星需要几条直线才能画出？由图可以看出，N芒星可以由N条线段画出，但只有N为单数时，才可以由N条线段一笔画出。而N为双数时，相当于两个N/2多边形的交错重叠。

第一种算法生成的芒星，当N越多时，星尖越短越钝，所以我双写了第二种算法，可以调节星尖的长度：

void            CPixelNLightStar::ResetN()
{
    m_n = (unsigned int)m_params[];
    if (m_n < )
    {
        m_n = ;
    }
    else if (m_n > )
    {
        m_n = ;
    }

    for (unsigned int i = ; i < m_n; i++)
    {
        m_list_sin[i] = sinf((i - 0.5f)**PI/m_n);
        m_list_cos[i] = cosf((i - 0.5f)**PI/m_n);
    }
}

unsigned int    CPixelNLightStar::CalculatePixel(unsigned int x, unsigned int y)
{
    float radius = m_params[];
    float h = radius*m_params[];

    unsigned int red = 0xffff0000;
    unsigned int yellow = 0xffffc000;
    unsigned int gray = 0xff808080;

    float i = x - 512.0f;
    float j = y - 512.0f;

    float dis = sqrtf(i*i + j*j);
    if (dis < radius*cosf(PI/m_n))
    {
        return red;
    }
    else if (dis > radius + h)
    {
        return gray;
    }

    Vec2 tri0(0.0f, radius + h);
    Vec2 tri1(radius*m_list_sin[], radius*m_list_cos[]);
    Vec2 tri2(radius*m_list_sin[], radius*m_list_cos[]);
    Vec2 P;

    bool bCenter = true;
    for (unsigned int m = ; m < m_n; m++)
    {
        P.x = i*m_list_cos[m] - j*m_list_sin[m];
        P.y = i*m_list_sin[m] + j*m_list_cos[m];

        if (IsPointInTriangle(tri0, tri1, tri2, P))
        {
            return yellow;
        }
    }

    if (dis < radius)
    {
        return red;
    }

    return gray;
}

算法中可以设置芒星半径长度和角的高度，以生成更多样的芒星：

相应软件：

Why数学图像生成工具

之前我写过一篇与芒星有关的图形画法：

数学图形(1.30) 星星

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