AtCoder Regular Contest 096

C - Many Medians

题意：

有A，B两种匹萨和三种购买方案，买一个A，买一个B，买半个A和半个B，花费分别为a，b，c。

求买X个A和Y个B最小花费使多少。

分析：

明显的发现肯定买性价比更高的方案，分情况讨论一下，如果$a+b<=2*c$，那么明显的先买足c到A，B中较小的一个，然后再比较一下剩下的那个的单价和$2*c$的大小。

A[ans=] -->|a+b<=2*c| B(A*a+B*b)
A --> |else| C{2*c}
C --> |A<=B| D[*A]
C --> |else| E[*B]
D --> |b<=2*c| F[+b*B-b*A]
D --> |else| G[+2*c*B-2*c*A]
E --> |a<=2*c| H[+a*A-a*B]
E --> |else| I[+2*c*A-2*c*B]

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define re register
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define MAXN 4000007
#define mo 19930726
#define ll long long
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
#define ms(arr) memset(arr, 0, sizeof(arr))
const int inf = 0x3f3f3f3f;
ll a,b,c,x,y,ans;
int main()
{
	cin>>a>>b>>c>>x>>y;
	ll minn=min(x,y);
	if(a+b<=2*c){
		cout<<x*a+y*b;
	} else {
		ans+=minn*c*2;
		if(x<y){
			if(2*c<=b) b=2*c;
			ans+=b*(y-x);
		} else {
			if(2*c<=a) a=2*c;
			ans+=a*(x-y);
		}
		cout<<ans;
	}
}

D - Static Sushi

题意：

有n个寿司围成一圈，给出寿司离起点的距离v和寿司的价值x，从起点开始走，任意时刻都可以决定走的方向，并且可以在任意时刻停下，求$max(\sum x-\sum v)$。

分析：

可以考虑我们一共有几种选择，可以发现最优的情况一定是向一个方向走然后掉头走另一个方向。前缀和求一下，顺时针逆时针直接搞搞也就出来了。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define re register
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define MAXN 200007
#define mo 19930726
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
#define ms(arr) memset(arr, 0, sizeof(arr))
#define ll long long
const int inf = 0x3f3f3f3f;
ll n,v[MAXN],x[MAXN],C,sum[MAXN],pre[MAXN],ans;
int main()
{
	cin>>n>>C;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>x[i]>>v[i];
		sum[i]=sum[i-1]+v[i];
		pre[i]=max(pre[i-1],sum[i]-x[i]);
	}
	ll cnt=0;
	ll c=C;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		ans=max(ans,cnt+pre[i]);
		cnt+=v[i]-2*(c-x[i]);
		c=x[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=C-x[i];
	reverse(x+1,x+n+1);
	reverse(v+1,v+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sum[i]=sum[i-1]+v[i];
		pre[i]=max(pre[i-1],sum[i]-x[i]);
	}
	cnt=0;
	c=C;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		ans=max(ans,cnt+pre[i]);
		cnt+=v[i]-2*(c-x[i]);
		c=x[i];
	}
	cout<<ans;
}

E - Everything on It

题意：

给你n种酱，可以任意添加入拉面中。你可以有任意碗拉面，然后你可以选择加入和不加这n种酱的任意一种进去任意一碗拉面中，问你怎么添加，使得：

1.这任意碗拉面中，不存在两碗拉面加的酱相同。

2.这任意碗拉面中，每一种酱都至少加入过两碗拉面中。

满足以上两个条件的加酱方法算一种方案。问有多少种方案%mod。

分析：

不难看出这题应该是一个容斥。

我们不犯设$f[i]$为有i种酱不合条件时的方案数，那么明显可以求出答案是$\sum_{i=0}^n (-1)^if[i]C_n^i$。

那么明显我们只需要求出$f$就可以轻松得到ans。

建立另一个数组$g[i][j]$表示前j碗拉面中有i种酱不符合条件的方案数。我们可以用类第二类斯特林数的方式求出来，$g[i][j]=g[i-1][j-1]+g[i-1][j]*(j+1)$。

可以这么想，当我们递推过来时，如果前$i-1$种酱在$j-1$碗面中，那么第$i$种酱一定在第$j$碗面中。如果前$i-1$种酱在前$j$碗面中，那么第$i$种酱就可在任何一碗面中或者压根就不在任何一碗面中。

之后求出$f[i]=\sum_{j=0}^ig[i][j]2^{(n-i)j} 2^{2^{(n-i)}}$

然后用这个公式

$a^n \equiv a^{n\cdot mod(p-1)}(modp)$

再直接往$\sum_{i=0}^n (-1)^if[i]C_n^i$这东西里面套就行了。

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <iostream>
#define re register
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define MAXN 3007
#define ll long long
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
#define ms(arr) memset(arr, 0, sizeof(arr))
const int inf = 0x3f3f3f3f;
ll c[MAXN][MAXN];
ll g[MAXN][MAXN];
ll n,mo;
inline ll niubide_power(ll k,ll x,ll mod)
{
	ll ans=1;
	while(x) {
		if(x&1ll) ans=ans*k%mod;
		k=(k*k%mod);
		x>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	cin>>n>>mo;
	for(re int i=1;i<=n;i++){
		c[i][0]=1;c[i][i]=1;
		for(int j=1;j<i;j++)
			c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mo;
	}
	for(int i=0;i<=n;i++){
		g[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)
			g[i][j]=(g[i-1][j-1]+g[i-1][j]*(j+1)%mo)%mo;
	}
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<=n;i++){
		ll k=c[n][i];
		if(i&1) k=(mo-k)%mo;
		ll kind=niubide_power(2,n-i,mo);
		ll x=niubide_power(2,n-i,mo-1);
		x=niubide_power(2,x,mo);
		ll cnt=0,y=1;
		for(int j=0;j<=i;j++){
			cnt=(cnt+(g[i][j]*y)%mo)%mo;
			y=kind*y%mo;
		}
		ans=(ans+(k*cnt)%mo*x%mo)%mo;
	}
	cout<<ans;
}

F - Sweet Alchemy

题意：

$n≤50$ 的树，每个点有权值，现要选点（可多次选一个点）使点数尽量多，如下限制：

选的总权值不超过$C≤1e9$；$c_i$ 表示$i$选的次数，$p_i$ 表示 $i$ 的父亲，那么$c_{p[i]}≤c_i≤c_{p[i]}+D$

$D≤1e9$是给定常数。

分析：

首先我们可以差分一下这棵树，然后这个题就变成了：在一棵树上有不超过50 个节点，每个节点均有一个权值及一个代价，除1号节点外每个节点选择的次数均不能超过 D。求在总代价不超过x的前提下，如何使权值最大化？

看上去像是一个经典的背包问题，但是超大的背包容量你也背不起来。

突破口貌似是$n\le50$这极少的物品个数。

但是突破不了了。

看了题解觉得真是非常神仙。

首先背包问题有一个经典错解，就是那个性价比高选哪个，但是明显错误的就是这样可能会造成包内有大量剩余空间没得使用浪费掉，但实际上是有更优秀的解的。

考虑什么时候我们能用性价比更高的物品替换到性价比低的。假设我们有$v_i$,$w_i$和$v_j$,$w_j$,且$\frac{v_i}{w_i}>\frac{v_j}{w_j}$。那么我们在选了$v_i$个$j$物品，就相当于选了$v_j$个$i$物品。因为权值没有变化，但是代价却更小了。

所以我们不能直接替换的最多只有$v_i-1$这么多，而$v$的足够小的范围是可以接受的。所以直接把每件物品都取$min(D,n)$件然后多重背包就可以了。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define re register
#define MAXN 507
#define mo 19930726
#define ll long long
#define int ll
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
#define ms(arr) memset(arr, 0, sizeof(arr))
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n,X,D,ans,num,dp[125500];
int w[MAXN],val[MAXN],pos[MAXN],head[MAXN];
int tot,V[MAXN*MAXN],W[MAXN*MAXN],cnt;
struct po
{
	int nxt,to;
}edge[MAXN<<1];
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void add_edge(int from,int to)
{
	edge[++num].nxt=head[from];
	edge[num].to=to;
	head[from]=num;
}
void dfs(int u)
{
	val[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){
		int v=edge[i].to;
		dfs(v);
		w[u]+=w[v];val[u]+=val[v];
	}
	cnt+=val[u]*n; pos[u]=u;
}
inline bool cmp(int x,int y){return val[x]*w[y]>val[y]*w[x];}
main()
{
	n=read();X=read();D=read();
	w[1]=read();
	for(re int i=2;i<=n;i++){
		w[i]=read();int x=read();
		add_edge(x,i);
	}
	dfs(1);
	sort(pos+1,pos+n+1,cmp);
	int tmp=min(n,D);
	for(re int i=1;i<=cnt;i++) dp[i]=inf;
	for(re int i=1;i<=n;i++){
		int len=1,lim=tmp;
		while(lim>=len){
			V[++tot]=len*val[pos[i]];
			W[tot]=len*w[pos[i]];
			lim-=len,len<<=1;
		}
		if(lim) V[++tot]=lim*val[pos[i]],W[tot]=lim*w[pos[i]];
	}
	for(int i=1;i<=tot;i++)
		for(int j=cnt;~j;j--){
			if(j>=V[i]) dp[j]=min(dp[j],dp[j-V[i]]+W[i]);
		}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=cnt;i++){
		if(dp[i]>X) continue;
		int ret=i,left=X-dp[i];
		for(int j=1;j<=n;j++){
			int tem=pos[j],used=min(max(D-n,0ll),left/w[tem]);
			if(tem==1) used=left/w[tem];
			left-=w[tem]*used;
			ret+=val[tem]*used;
		}
		ans=max(ans,ret);
	}
	cout<<ans;
}