[知识点]字符串Hash

1、前言

　　字符串的几大主要算法都多少提及过，现在来讲讲一个称不上什么算法， 但是非常常用的东西——字符串Hash。

2、Hash的概念

　　Hash更详细的概念不多说了，它的作用在于能够对复杂的状态进行简单的表达，更方便的用于判重。在搜索的时候，或是动规的时候，都有过类似的做法。在实际应用中，也是非常重要的，这也就是为什么存在什么暴雪公司的Hash算法等等；加密环节也是Hash的重要之处，MD5码就是一个经典的例子。

　　字符串Hash的方式多式多样，重点来解释一下最简单的，最常用的。

3、BKDRHash

　　作为竞赛选手，BKDRHash必定是首选的！通过多种测试与研究，BKDRHash在简单Hash中是冲突量最小的一种Hash方式，处理起来也非常好理解。先看一段简短的代码：

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#define x 131
#define MOD 1000000007

int h[MAXN];
char a[MAXN];

void getHash()
{
　　int len = strlen(a);
　　for (int i = 0; i <= len - 1; i++) h[i] = (h[i - 1] * x + a[i]) % MOD;
}

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　　这种方式类似于进制数表示。对于一个字符串a的某一位i，乘上一个x^i，在x>=字符串中的字符数的情况下，Hash值和字符串必定是一一映射的，当且仅当在一一对应的情况下，我们的Hash值才有存在的含义。

　　但是显然的，有一个很严重的问题，倘若某个字符串规定只有10个字符，长度最长为8，则极限情况下Hash值为10^8。放入一个Hash值数组中，当然是可行的。但是在很多时候，字符串的长度和字符区域不会这么小的。这也是我最开始很困惑的地方，似乎无解的样子。这个时候，我们只能选择牺牲完美的正确性来满足条件了。

　　对于超过某个限度的数，我们给他取一个MOD。这样好像很逗的样子？我们简单分析一下出现重复的情况，在随机造数据求Hash值取模数1e9+7之后，冲突率为0.05%上下。在算法竞赛中，这种错误率几乎可以不计。

　　这也就有人问了，在非100%正确率的情况下，如果出题人丧心病狂的话，这不同样会出现用来卡你的数据？要知道，字符串Hash的灵活性是非常强的！上面代码中我们可以看出，x和MOD都是我们自己定义的，它并不取决于题目的数据（当然x是必须大于字符集的这个不用多说）。

　　上述代码中，我们的x设定值为131，我并不清楚为什么要用这个数，确实网上的很多做法和教程也都是131，但是其实局限性并没有这么强。只要这个数是大于等于出现的字符个数的，是都可以满足的，例如某提中提到全部为小写字母，x>=26即可。这个应该是不存在卡数据的。

　　关键就在于MOD的讲究。其实通过网上的，学长的各种表述，取MOD的方式也是各种花样。数值越大越好这个当然是必然的！但是在这个基础上取质数也是最好的。为什么说这个事有讲究的，可能在NOIP和一些比较基础的比赛/考试中，这个不影响；但是大考试中，如HNOI/CTSC中据说都出现过的专门卡特定MOD数的情况。比如1e9+7，1e6+7，1e9+1都是比较常见的，有些出题人故意尝试着去卡，导致某些选手分数降低。这个时候就可以花式取模了，只要是个较大的数，最好是个质数，比如你的生日之类的，如19990522之类的，谁会知道呢。

　　在平均情况下，采用伪随机数据，MOD<=5e6才会出现一个错误点，所以自己好好把握吧。

3、多Hash取值

　　我相信和我一样，许多人还是有后顾之忧，所以又出现了若干的方法使这个冲突率变得更小。因为对于算法竞赛，这个0.05%似乎不值得一提；但是对于大型工程，如软件，系统，游戏等，面对全球大量客户，不不难出现一些BUG。暴雪公司（Bilzzard）就有着自己的高效而巧妙的Hash值取法，这里不提；他们似乎对这个依旧不放心，于是还决定采取多Hash值的判断。

　　对于一个字符串，我们假定给他两个Hash值（BKDRHash和其他的类型，参见网上若干教程），当且仅当两个字符串的两个Hash值都是一样的，我们才认为这两个字符串相等。根据乘法原理，这已经显而易见了，冲突率就会是两个Hash方法的乘积之和，可见其量之小。

　　同样地，你也可以选择3个Hash，4个Hash，但是随着个数的增加，复杂度也会升高，所以一般取2~3个是足够了的。暴雪公司的设定冲突率为1:18889465931478580854784，大概是10^(-22.3)%，对一个游戏程序来说足够安全了。

4、Hash挂链

　　上述的多Hash取值相比挂链是要好理解一些的，暴雪公司就从来不挂链，但是作为一种方法，这里依旧要提及。Hash挂链才是真正的能够保证完美正确性的方法。同样先上一段代码。

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vector <int> h[MAXN];

void add(int o)
{
　　int t = o % MOD;
　　for (int i = 1; i <= h[t].size(); i++)
　　　　if (h[t][i] == o) return;
　　h[t].push_back(o);
}

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　　存放Hash值的容器为vector以节省空间，它的作用和链表一样（你也可以选择手写链表）。对于某一个数经过取模之后得到的数为t，它对应的vector为h[t]。我们将所有取模之后得到t的原值放入o，这样，可以很容易地发现是否冲突，只需要在vector中扫描一遍。

　　确实这个正确性是必定保证了的，但是相比之下，时间复杂度和空间复杂度似乎都不够理想，当然在能确保的情况下绝对是可以用的。

5、总结

　　字符串Hash，作用是无限的。KMP，SA等等，经常出现可以用字符串Hash代替的情况。