最短路算法之 Dijkstra

部分内容参考了李煜东的《算法竞赛进阶指南》，在此声明。

• 单源最短路径

  单源最短路径问题，是说，给定一张有向图（无向图）\(G=(V,E)\) ,\(V\) 是点集，\(E\) 是边集，\(|V|=n\)，\(|E|=m\)，节点是 \([1,n]\) 之间的连续整数，\((x,y,z)\) 描述一条从 \(x\) 到 \(y\) 边长为 \(z\) 的有向（无向）边，设 1 号点为起点，求长度为 \(n\) 的数组 \(dist\)，其中 \(dist_i\) 表示从1到 \(i\) 的最短路径的长度。

• Dijkstra 算法

  Dijkstra 算法可以求解不含有负边权单源最短路问题，其本质是贪心。
  
  下面来介绍它的算法实现流程。Dijkstra 算法将图中所有点分为2大类，下面不妨设为集合 \(E1\) 与集合 \(E2\)。其中 \(E1\) 表示的是已经确定最短路径的点，\(E2\) 表示的是还未确定最短路径的点。
  
  Dijkstra 的算法流程如下：

  1. 初始化 \(dist_1=0\)，因为1号点是起点。
  2. 找出一个点 \(x \in E2\) 且 \(dist_x\) 最小，并将 \(x\) 加入集合 \(E1\)。
  3. 枚举 \(x\) 的所有出边 \((x,y,z)\) 更新 \(dist_y\) 的值，具体的，若 dist[y] > dist[x] + z 则 dist[y] = dist[x] + z。
  4. 重复执行2,3操作直至所有点均被加入 \(E1\) 集合。

  这里可能会有人产生疑惑，为什么我们一旦找出 \(x\) 就可以把它加入 \(E1\) 呢，这里就体现出了 Dijkstra 算法的核心与本质，贪心就用在这里。\(x\) 是 \(E2\) 中的点，也就是说 \(dist_x\) 还不确定，看起来好像不能将 \(x\) 加入 \(E1\) 集合，但仔细思考发现，能更新 \(dist_x\) 的点一定不在 \(E1\) 里，因为一旦某个点被加入了 \(E1\) ，那么在这之前，这个点一定会先更新它所能更新的点，所以能更新 \(dist_x\) 的点一定在 \(E2\) 中。其次，\(dist_x\) 是 \(E2\) 中最小的，又因为边权非负，所以 \(E2\) 中的点也无法更新 \(dist_x\) ，综上，\(dist_x\) 无法被任何一个点更新，所以 \(dist_x\) 不会更小，\(x\) 就可以顺利地加入集合 \(E1\) 了。

  下面我们分析一下这个算法的复杂度。
  
  根据上面的算法流程可知，在每一轮的循环中，必会有一个点被加入 \(E1\) 中（操作1），而循环终止条件是所有点均被加入集合 \(E1\)，所以，我们最多循环 \(n\) 次。而每一次操作2的复杂度是 \(O(n)\)，所以总复杂度就是 \(O(n^2)\)。

  \(O(n^2)\) 部分的代码，对应这道模板题：

  点击查看代码

  #include <bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  const int maxn = 510,inf = 0x7f7f7f7f;
  int n,m;
  int g[maxn][maxn],dis[maxn];
  bool vis[maxn];
  int dijkstra(){
      memset(dis,inf,sizeof(dis));
      dis[1] = 0;
      for(int i = 1;i <= n;i++){
          int mn = 0;
          for(int j = 1;j <= n;j++)
          if(!vis[j] && (!mn || dis[j] < dis[mn])) mn = j;
          vis[mn] = 1;
          for(int j = 1;j <= n;j++)
          if(!vis[j] && g[mn][j] != inf) dis[j] = min(dis[j],dis[mn] + g[mn][j]);
      }
      return dis[n] == inf ? -1 : dis[n];
  }
  int main(){
      scanf("%d%d",&n,&m);
      memset(g,inf,sizeof(g));
      int u,v,w;
      while(m--){
          scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
          g[u][v] = min(g[u][v],w);
      }
      printf("%d",dijkstra());
      return 0;
  }
  
  作者：旭日临窗
  著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
  

  但是在有些题中，点数和边数非常大，通常 \(n \le 10^5 , m \le 10^5\)。我们 \(O(n^2)\) 的代码无法通过，所以下面我们考虑优化。

  我们观察 \(O(n^2)\) 的代码，发现复杂度瓶颈在于内层循环，也就是操作2，所以我们重点考虑怎么优化操作2，也就是怎么快速找出 \(E2\) 中最小的 \(dist_x\)。在一个集合中找最小值，你想到了什么数据结构？没错，就是优先队列，或者说小堆根。具体的，每次当执行到操作3，并且 \(dist_y\) 可以被更新的时候，就将 \((y , dist_y)\) 这个二元组，加入优先队列，注意，优先队列默认是大堆根，所以我们可以用 pair <int,int> 来储存二元组，并且利用 pair 的内置比较函数，可以很方便的重载优先队列，将大堆根变成小堆根。这样操作2就变成了在优先队列的队头取出 \(x\) 和 \(dist_x\) 。复杂度可以降至 \(O(m \log n)\)。

  \(O(m \log n)\) 的代码，对应这道题

  点击查看代码

  #pragma GCC optimize(2)
  #include <bits/stdc++.h>
  #define PII pair <int,int>
  using namespace std;
  const int maxn = 2e5 + 10,inf = 0x7f7f7f7f;
  int n,m,cnt;
  int head[maxn],dis[maxn];
  bool vis[maxn];
  struct edge{int to,nxt,w;}e[maxn];
  void add(int u,int v,int w){e[cnt] = edge{v,head[u],w};head[u] = cnt++;}
  priority_queue <PII,vector <PII>,greater <PII> > q;
  int dijkstra(){
      memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
      dis[1] = 0;
      q.push({0,1});
      while(!q.empty()){
          int u = q.top().second;q.pop();
          if(vis[u]) continue;
          vis[u] = 1;
          for(int i = head[u];~i;i = e[i].nxt){
              int v = e[i].to;
              if(dis[u] + e[i].w < dis[v]){
                  dis[v] = dis[u] + e[i].w;
                  q.push({dis[v],v});
              }
          }
      }
      return dis[n] == inf ? -1 : dis[n];
  }
  int main(){
      memset(head,-1,sizeof(head));
      scanf("%d%d",&n,&m);
      int u,v,w;
      while(m--){
          scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
          add(u,v,w);
      }
      printf("%d",dijkstra());
      return 0;
  }
  
  作者：旭日临窗
  著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。