AtCoder Beginner Contest 261 F // 树状数组

题目链接：F - Sorting Color Balls (atcoder.jp)

题意：

有n个球，球有颜色和数字。对相邻的两球进行交换时，若颜色不同，需要花费1的代价。求将球排成数字不降的顺序，所需的最小代价。

思路：

将完成排序所需的最小代价记作 cost，将颜色不同的逆序对（ i < j && xi > xj && ci ≠ cj ）数量记作 cnt ，则有 cost = cnt。证明如下：

• 可以构造出一种所需花费为 cnt 的排序方案：将这n个球按颜色切分，即切分成若干个颜色相同的连续区间，那么将每个区间进行排序，不需要花费任何代价，然后再进行冒泡排序，则花费代价恰为 cnt。因此有 cost ≧ cnt 。

• 再证明 cost ≤ cnt ：依然先将各个颜色相同的连续区间进行排序，那么不考虑颜色时，总的逆序对变为 cnt 。每次进行相邻数交换，则逆序对数量的变化可能为：+1、0、-1，那么要让逆序对数量变为 0，至少需要 cnt 次交换，因此有 cost ≤ cnt。

那么只需要求出 cnt：求出不考虑颜色时逆序对数量 totalCnt，在求出对于各个颜色，颜色相同的逆序对数量Cnt_i，因此：cnt = totalCnt - ∑Cnt_{i 。}

然后求逆序对，就是树状数组的经典应用了。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define lowbit(x) (x & -x)
using namespace std;

const int N = 300010;

int n, c[N];
vector<int> v[N];
int tr[N];

void add(int x, int c)
{
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

LL sum(int x)
{
    LL res = 0;
    for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &c[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        v[0].push_back(x);    //v[0]存储不考虑颜色时的值，后续求出不考虑颜色时的逆序对
        v[c[i]].push_back(x); //v[ci]则存储考虑颜色时的值，后续求出相同颜色下的逆序对
    }

    LL ans = 0;
    for(int i = 0; i <= n; i++) {
        for(auto& x : v[i]) {
            ans = ans + (i ? -1 : 1) * (sum(n) - sum(x));
            add(x, 1);
        }
        for(auto& x : v[i]) add(x, -1);
    }
    cout << ans << endl;

    return 0;
}