FIR滤波器的设计

FIR数字滤波器的设计

• 线性相位FIR滤波器的特点
  • 单位冲激响应：\(h(n),0\leq n\leq N-1\)
  • 系统函数：\(H(z)=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n}\)
  • 零极点分布：无穷远处N-1个零点，z=0处有一个N-1阶极点
• 线性相位条件
  
  线性相位是FIR滤波器的一个优势，因为FIR滤波器相比于IIR滤波器的阶数一般要高很多。
  
  \(H(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)e^{-j\omega n}=\pm|H(e^{j\omega})|e^{j\theta(\omega)}\)
  
  线性相位是指\(\theta(\omega)\)是\(\omega\)的线性函数。根据它们之间的线性关系，将线性相位分为两种：正比例；一次函数。
  • 第一类线性相位：\(\theta(\omega)=-\tau\omega\)
    
    若实序列\(h(n)\)为第一类线性相位，则\(\sum_{n=0}^{N-1}h(n)e^{-j\omega n}=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)\cos(\omega n)-j\sum_{n=0}^{N-1}h(n)\sin(\omega n)=\pm|H(e^{j\omega})|\cos(\omega \tau)\pm j|H(e^{j\omega})|\sin(\omega \tau)\) 于是：\(\tan(\omega\tau)=\frac{\sum_{n=0}^{N-1}h(n)\sin (\omega n)}{\sum_{n=0}^{N-1}h(n)\cos (\omega n)}\) \(\rightarrow \sum_{n=0}^{N-1}h(n)\sin[(\tau-n)\omega]=0\)
    \[\text{FIR系统满足线性相位的充要条件}\begin{cases}
    \text{$\tau=\frac{N-1}{2}$}\\ h(n)=h(N-1-n)\end{cases}$$ ,即h(n)为偶对称，对称中心为$\frac{N-1}{2}$ .
    \]

    同理可得，满足线性相位的冲要条件\(h(n)=-h(N-1-n),\tau=\frac{N-1}{2},\beta_0=\pm\frac{\pi}{2}\)

窗函数设计法

• 方法及原理
  
  性能指标\(\rightarrow\)理想低通滤波器的系统函数\(\rightarrow\)反变换时域无限长信号\(\rightarrow\)信号截断\(\rightarrow\)右移变因果系统。
  
  线性相位理想低通滤波器的频率响应(周期连续)为：

  \[H_d(e^{j\omega)})=\begin{cases} e^{-j\omega\alpha}&-\omega_c \leq \omega \leq\omega_c\\ 0&-\pi\leq\omega\leq-\omega_c, \omega_c\leq\omega\leq\pi \end{cases}
  \]

  经过离散傅里叶反变换对应的序列(非周期离散)为：

  \[h_d(n)=\frac{\omega_c}{\pi}\frac{\sin[\omega_c(n-\alpha)]}{\omega_c(n-\alpha)}
  \]

  该序列为中心点为\(\alpha\)的偶对称无限长非因果序列。
  
  现需要将其转变为偶对称有限长因果序列。取矩形窗\(w(n)=R_N(n)\),则FIR滤波器的单位抽样响应：

  \[h(n)=h_d(n)=\begin{cases} h_d(n) & 0\leq n\leq N-1 \\ 0 & \text{else}\end{cases}
  \]

  根据第一类线性相位的条件，应有：\(\alpha=\frac{N-1}{2}\),即：

  \[h(n)=\frac{\omega_c}{\pi}\frac{\sin[\omega_c(n-\frac{N-1}{2})]}{\omega_c(n-\frac{N-1}{2})},0\leq n \leq N-1
  \]

  FIR滤波器的频率响应的幅度函数为h(n)的幅度函数与w(n)幅度函数的卷积，即为\(H(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H_d(\omega)W_R(\omega-\theta)d\theta\),变换的具体过程如下：
  
  
  
  可以看做\(W_R(\theta)\)平移\(\omega\)之后在\([-\omega_c,\omega_c]\)内的积分(因为\(H_d(\theta)\)在此区间内为1).

  \(\omega\)	\(H(\omega)\)
  0	近似\(W_R(\theta)\)的全部面积
  \(\omega_c\)	0.5\(H(0)\)
  \(\omega_c-\frac{2\pi}{N}\)	最大，正肩峰
  \(\omega_c+\frac{2\pi}{N}\)	最小，负肩峰
  \(>\omega_c+\frac{2\pi}{N}\)	在零值上下波动
  \(<\omega_c-\frac{2\pi}{N}\)	在\(H(0)\)上下波动

  \(-\frac{2\pi}{N},\frac{2\pi}{N}\)为窗函数频谱主瓣的两个零点，主瓣宽度为\(\frac{4\pi}{N}\)。
  
  从图中可以看出，FIR滤波器的幅值函数在\(\omega_c\pm\frac{2\pi}{N}\)出现肩峰。改变N值改变主瓣宽度，使过渡带变得更窄，但是并不能改变正肩峰与负肩峰的相对比例（相对比例由窗函数的形状决定，此为Gibbs效应）。

• 几种窗函数的对比

  窗函数	窗谱性能指标		加窗后滤波器性能指标
  	旁瓣峰值幅度/dB	主瓣宽度/(2pi/N)	过渡带宽△w/(2pi/N)	最小阻带衰减/dB
  矩形窗	-13	2	0.9	-21
  三角形窗	-25	4	2.1	-25
  汉宁窗	-31	4	3.1	-44
  海明窗	-41	4	3.3	-53
  布莱克曼窗	-57	6	5.5	-74
  凯泽窗(β=8.865)	-57		5	-80

  阻带最小衰减只由窗函数形状决定。过渡带宽与窗形状和窗宽N都有关。

• 设计步骤

  graph LR
  A(理想的频率响应函数及技术指标)-->B(理想的单位抽样响应)
  D(根据阻带衰减选择窗函数)-->C(根据过渡带宽度确定N)
  E(FIR滤波器的单位冲激响应)
  B-->D
  C-->E

  技术指标包括：阻带衰减和过渡带宽。一般取\(\omega_c\)为通带截止频率和阻带截止频率的平均值
  
  从理想的频率响应函数(\(H_d(e^{j\omega})\))得到理想的单位抽样响应\(h_d(n)\)，有两种方法：

  • 公式法
  • IFFT法：对\(H_d\)进行M点IFFT变换，要求M>>N

  最终得到FIR滤波器的h(n)，并求得\(H(e^{j\omega})\)，进行验证