4.怎么理解相互独立事件?真的是没有任何关系的事件吗? 《zobol的考研概率论教程》
1.从条件概率的定义来看独立事件的定义
2.从古典概率的定义来看独立事件的定义
3.P(A|B)和P(A)的关系是什么?
4.由P(AB)=P(A)P(B)推出“独立”
5.从韦恩图来看独立事件的定义
6.为什么多个事件两两独立推不出相互独立
7.在考研古典概率中,有一个P(A|B)=P(A)就可以推出两者是独立事件吗?
8.在考研中,独立事件可以看作是“独立”的吗?
1.从条件概率的定义来看独立事件的定义
在考研古典概率中,我们最初都是通过条件概率公式来定义独立事件的。
这从条件概率的角度来理解就是在条件B的情况下,A发生的概率与之前相比不变。
所以我们常常理解成,如果两个事件互为独立事件,则B的发生对A没有影响。但这种理解,其实是有谬误的,因为并不是没有影响,只是影响没有体现在比例值上!。
也有一种看法是,B的发生让A的事件发生概率保持不变,保持不变本身也可以看作是一种影响,这种思路也可以理解成:
B发生的同时,A跟着一起发生的概率等于全集中随机选取一个样本点属于A的概率
从这个角度来看,似乎独立事件也不是那么独立,条件概率值等于全集发生概率值,似乎还约束了两个事件之间的关系。不过导致这一切发生的根源还要从古典概率来入手。
2.从古典概率的定义来看独立事件的定义
因为古典概率的定义是根据分式比例值定义的,条件概率的定义也是根据比例值定义的,这就导致一个问题就是3/5=6/10。
原来之所以在事件B的条件约束下,事件A的发生概率没有变,是因为:
分子和分母被缩小了相同的比例
所以我们能说事件B的条件对事件A发生没有影响吗?不能!
我们只能说事件B的条件对事件A的发生概率没有影响!
很明显条件A让B的样本点中的x6,x7,x8都被排除在外了,所以是造成了影响,但是对概率值是没有影响的,因为概率值是一个比例值,3/5和6/10是一样大的。
从这一步似乎我们可以看出,为什么多事件的独立性,两两独立推不出相互独立。这是因为,样本点之间有重合的,独立事件定义中的条件概率可以看作是对样本空间和事件B进行了等比例约束。这种约束,在多事件中,可能有重合的样本点,这就导致等比例约束被打破了。
3.P(A|B)和P(A)的关系是什么?
首先它们不在一个样本空间中,所以根本不能看做是一个事件(包含的样本点数量也不一样),实际上条件概率更应该看作是一个比例值,而不是一个事件。
在考研-古典概率中,如果我们可以得到P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)中的任何一个,我们就可以推导出这俩一定属于独立事件。
除此之外,P(A|B)和P(A)之间的其他关系式,都是没有太多意义的,不过利用其推出的另外一个关系式用处更大,那就是P(AB)=P(A)P(B)
4.由P(AB)=P(A)P(B)推出“独立”
我们之前是利用条件概率来定义独立事件,我们讨论条件概率的定义是用来解决交事件的计算,这里我们把独立事件也联系进来。
两个概率值相乘其实没什么实际意义,一般来讲,乘法运算表明了两个事件的发生逻辑关系,所以这里也体现了前者的发生对后者没有影响。因此从P(AB)=P(A)P(B)中,我们更可以看出来一种独立性出现。
实际中,独立性也常用来计算交事件的概率,毕竟如果两个事件之间“没有影响”,计算同时发生的概率值就方便很多,只需要直接相乘就可以,这个我们不学独立性,也会计算。
5.从韦恩图来看独立事件的定义
说实话,如果两个事件之间真的没有任何联系,那其实没法用韦恩图来表示,因为韦恩图的基本单位-样本点事件,之间都是互斥事件,所以你画出两个事件之间,都是一定存在某些联系的。不过,上文我们也讲了,不是没有联系,只是这种联系没有体现在概率值上。
所以我们依然可以简单的画出来,只要注意全部等比例缩小相同倍数即可。
6.为什么多个事件两两独立推不出相互独立
因为等比例缩放,之间的样本点可能有重复的,导致虽然任意选出两个事件,都是构成独立事件的,但全集和事件C的缩放,可能不再成比例了。
也就是推不出P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
多个事件,相互独立可以推出两两独立,但两两独立推不出相互独立,也可以从波罗梅奥环中看出来:
7.在考研古典概率中,有一个P(A|B)=P(A)就可以推出两者是独立事件吗?
可以,我们可以从公式中推导出来,也可以利用古典概率定义的集合性质-交换律来想清楚,也可以用韦恩图来看出来。
因此我们只要看到P(A|B)=P(A),P(A|B)=P(A),P(AB)=P(A)P(B)任意一个,就可以认为是独立事件。
8.在考研中,独立事件可以看作是“独立”的吗?
可以的,只要在考研中,如果你遇到任何两个事件中存在一定关系,哪怕是非常复杂不好用或与非来表示的,那也一定不是独立事件,构不成独立事件的三个等式。
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