Catalan数(卡特兰数)
Catalan数(卡特兰数)
卡特兰数:规定h(0)=1,而h(1)=1,h(2)=2,h(3)=5,h(4)=14,h(5)=42,h(6)=132,h(7)=429,h(8)=1430,h(9)=4862,h(10)=16796,h(11)=58786,h(12)=208012,h(13)=742900,h(14)=2674440,h(15)=9694845·····················
原理
应用
3、在图书馆一共6个人在排队,3个还《面试宝典》一书,3个在借《面试宝典》一书,图书馆此时没有了面试宝典了,求他们排队的总数?
分析:和上面一题剧院买票时一样的
h(3)=5;所以总数为5*3!*3!=180.
思路:可以这样考虑,首先通过括号化,将P分成两个部分(就相当于分成了两个子问题),然后分别对两个部分进行括号化。比如分成(a1)×(a2×a3.....×an),然后再对(a1)和(a2×a3.....×an)分别括号化;又如分成(a1×a2)×(a3.....×an),然后再对(a1×a2)和(a3.....×an)括号化。
设n个矩阵的括号化方案的种数为f(n),那么问题的解为
f(n) = f(1)*f(n-1) + f(2)*f(n-2) + f(3)*f(n-3) + f(n-1)*f(1)。f(1)*f(n-1)表示分成(a1)×(a2×a3.....×an)两部分,然后分别括号化。
计算开始几项,f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 5。结合递归式,不难发现f(n)等于h(n-1)。
设问题的解f(n),其中n表示顶点数,那么f(n) = f(2)*f(n-1) + f(3)*f(n-2) + ......f(n-2)*f(3) + f(n-1)*f(2)。f(2)*f(n-1)表示三个相邻的顶点构成一个三角形,那么另外两个部分的顶点数分别为2和n-1。
设f(2) = 1,那么f(3) = 1, f(4) = 2, f(5) = 5。结合递推式,不难发现f(n) 等于h(n-2)。
思路:以其中一个点为基点,编号为0,然后按顺时针方向将其他点依次编号。那么与编号为0相连点的编号一定是奇数,否则,这两个编号间含有奇数个点,势必会有个点被孤立,即在一条线段的两侧分别有一个孤立点,从而导致两线段相交。设选中的基点为A,与它连接的点为B,那么A和B将所有点分成两个部分,一部分位于A、B的左边,另一部分位于A、B的右边(详单与把问题划分为左右两个子问题)。然后分别对这两部分求解即可。
设问题的解f(n),那么f(n) = f(0)*f(n-2) + f(2)*f(n-4) + f(4)*f(n-6) + ......f(n-4)*f(2) + f(n-2)*f(0)。f(0)*f(n-2)表示编号0的点与编号1的点相连,此时位于它们右边的点的个数为0,而位于它们左边的点为2n-2。依次类推。
f(0) = 1, f(2) = 1, f(4) = 2。结合递归式,不难发现f(2n) 等于h(n)。
9、圆桌周围有 2n个人,他们两两握手,但没有交叉的方案数为h(n)
和上一题是一样的,都是圆上,都没有交叉。都是分成左右两个子问题来分析。
10、n*n的方格地图中,从一个角到另外一个角,不跨越对角线的路径数为h(n).
例如, 4×4方格地图中的路径有:
11、n个节点构成的二叉树,共有多少种情形?
和上一题是一样的,上一题是分为左右两个子问题,而这一题是二叉树,分成左孩子和右孩子两个子问题就好了。
思路:可以这样考虑,根肯定会占用一个结点,那么剩余的n-1个结点可以有如下的分配方式,T(0, n-1),T(1, n-2),...T(n-1, 0),设T(i, j)表示根的左子树含i个结点,右子树含j个结点。
设问题的解为f(n),那么f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + .......+ f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0)。假设f(0) = 1,那么f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 5。结合递推式,不难发现f(n)等于h(n)。
12、拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量为h(n).
例如 4个叶子节点的所有二叉树形态:
参考:
http://buptdtt.blog.51cto.com/2369962/832586
https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%A1%E7%89%B9%E5%85%B0%E6%95%B0?fr=aladdin
Catalan数(卡特兰数)的更多相关文章
- catalan 数——卡特兰数(转)
Catalan数——卡特兰数 今天阿里淘宝笔试中碰到两道组合数学题,感觉非常亲切,但是笔试中失踪推导不出来后来查了下,原来是Catalan数.悲剧啊,现在整理一下 一.Catalan数的定义令h(1) ...
- (转载)Catalan数——卡特兰数
Catalan数——卡特兰数 今天阿里淘宝笔试中碰到两道组合数学题,感觉非常亲切,但是笔试中失踪推导不出来后来查了下,原来是Catalan数.悲剧啊,现在整理一下 一.Catalan数的定义令h(1) ...
- Catalan Number 卡特兰数
内容部分来自以下博客: Cyberspace_TechNode 邀月独斟 一个大叔 表示感谢! Catalan数的引入: 一个长度为2N的序列,里面有N个+1,N个-1 它的任意前缀和均非负,给定N, ...
- Catalan数——卡特兰数
一.Catalan数的定义 令h(0)=1,h(1)=1,Catalan数满足递归式:h(n) = h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n& ...
- 浅谈 Catalan number——卡特兰数
一.定义: 卡特兰数是一组满足下面递推关系的数列: 二.变形: 首先,设h(n)为Catalan数的第n+1项,令h(0)=1,h(1)=1,Catalan数满足递推式: h(n)= h(0)*h(n ...
- 洛谷 p1044 栈 【Catalan(卡特兰数)】【经典题】
题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1044 转载于:https://www.luogu.org/blog/QiXingZhi/solution-p ...
- 转载 - Catalan数(卡特兰数)
出处:http://blog.sina.com.cn/s/blog_6aefe4250101asv5.html 什么是Catalan数 说到Catalan数,就不得不提及Catalan序列,Catal ...
- 卡特兰数 catalan number
作者:阿凡卢 出处:http://www.cnblogs.com/luxiaoxun/ 本文版权归作者和博客园共有,欢迎转载,但未经作者同意必须保留此段声明,且在文章页面明显位置给出原文连接,否则保留 ...
- HDU 1023 Traning Problem (2) 高精度卡特兰数
Train Problem II Time Limit: 1000MS Memory Limit: 32768KB 64bit IO Format: %I64d & %I64u Sub ...
- HDU 1023 Train Problem II (大数卡特兰数)
Train Problem II Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) ...
随机推荐
- JS高级——Function原型链
基本概念 1.函数可以通过Function new出来,那么Function可以被称作构造函数,被new出来的函数可以被称为一个对象 2.Function既然是构造函数,那么肯定也有原型,它的原型是一 ...
- Spring学习_day02_AOP,AspectJ,JdbcTemplate
本文为博主辛苦总结,希望自己以后返回来看的时候理解更深刻,也希望可以起到帮助初学者的作用. 转载请注明 出自 : luogg的博客园 谢谢配合! Spring_day02 一.AOP面向切面编程 1. ...
- Python 之有道翻译数据抓取
import requests import time def you_dao(): key = input("请输入要翻译的内容:") # key = "哈哈" ...
- C/C++ 之数组排序
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> void array_sort(int *a, int len) { int i, j, tmp; ...
- Spring Boot 集成 JWT 实现单点登录授权
使用步骤如下:1. 添加Gradle依赖: dependencies { implementation 'com.auth0:java-jwt:3.3.0' implementation('org.s ...
- javascript中 (function(){})();如何理解?
javascript中 (function(){})();如何理解? javascript中: (function(){})()是匿名函数,主要利用函数内的变量作用域,避免产生全局变量,影响整体页面环 ...
- bootstrap中chosen控件样式有时会冲突
加上这句话试试 $(".chosen-container").css("width","100%"); 或者 100%改成 100px试试
- Mapreduce代码疑点(1)
一.Hadoop MultipleInputs.addInputPath 读取多个路径 https://blog.csdn.net/t1dmzks/article/details/76473905 M ...
- vue移动端地址三级联动组件(一)
vue移动端地区三级联动 省,市,县.用的vue+mintUi 因为多级联动以及地区的规则比较多.正好有时间自己写了一个.有问题以及建议欢迎指出.涉及到dom移动,所以依赖vue+jquery.这边数 ...
- [C++] 配平化学方程式算法的封装
有人已经实现了配平的方法,在此不再重复介绍. https://www.cnblogs.com/Elfish/p/7631603.html 但是,上述的方法所提供的代码还是存在着问题,需要进一步修改. ...