BZOJ 3527: [Zjoi2014]力 FFT_卷积

Description

给出n个数qi，给出Fj的定义如下：

令Ei=Fi/qi，求Ei.

 

Input

第一行一个整数n。

接下来n行每行输入一个数，第i行表示qi。

n≤100000，0<qi<1000000000

 

 

Output

n行，第i行输出Ei。与标准答案误差不超过1e-2即可

题解：

按照定义，$E_{j}=\frac{F_{j}}{q_{j}}$

 

这里为了方便，把所有下标都 $-1$ 

 

即 $E_{j}=\sum_{i=0}^{j}\frac{q{i}}{(i-j)^2}-\sum_{i=j+1}^{n-1}\frac{q_{i}}{(i-j)^2}$

 

令 $g_{i}=\frac{1}{i^2}$

 

原式 $\Rightarrow \sum_{i=0}^{j}g_{j-i}q_{i}-\sum_{i=j+1}^{n-1}g_{i-j}q_{i}$ 

 

先考虑怎么求 $\sum_{i=0}^{j}g_{j-i}q_{i}$，由于下标和恒等于 $j$ ，所以直接把 $g$ 和 $q$ 相乘即可

 

再考虑怎么求 $\sum_{i=j+1}^{n-1}g_{i-j}q_{i}$，下标和不相等，那就进行反转，反转 $q$ 更为方便一些

 

令 $p_{i}=q_{n-i-1}$，$\sum_{i=j+1}^{n-1}g_{i-j}p_{n-i-1}$

 

下标和为 $n-j-1$ ，是一个定值，直接多项式相乘即可

 

#include <cmath>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) 

const int maxn = 300000;
const double pi=3.1415926535898;
int t, n, len=1, l, r[maxn*2];

struct Cpx{
    double x,y;
    Cpx (double t1=0,double t2=0){x=t1,y=t2;}
}A[maxn<<1],B[maxn<<1],C[maxn<<1],B2[maxn<<1],A2[maxn<<1],C2[maxn]; 

Cpx operator+(Cpx a,Cpx b){ return Cpx(a.x+b.x,a.y+b.y);}
Cpx operator - (Cpx a, Cpx b){ return Cpx(a.x-b.x, a.y-b.y); }
Cpx operator * (Cpx a, Cpx b){ return Cpx(a.x*b.x-a.y*b.y, a.x*b.y+a.y*b.x); }

void FFT(Cpx *a,int n,int flag){
    for(int i=0;i<n;++i) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for(int mid=1;mid<n;mid<<=1){
        Cpx wn(cos(pi/mid), flag*sin(pi/mid)),x,y;
        for(int j=0;j<n;j+=(mid<<1)){
            Cpx w(1,0);
            for(int k=0;k<mid;++k) {
                x=a[j+k],y=w*a[j+mid+k];
                a[j+k]=x+y;
                a[j+mid+k]=x-y;
                w=w*wn;
            }
        }
    }
}
int main(){
    //setIO("input");
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i <= n; ++i) scanf("%lf",&A[i].x),A2[n - i + 1] = A[i].x;
    for(int i = 1;i <= n; ++i) B[i].x = 1.000 / (double) ((1.0 * i) * (1.0 * i)) ;
    while(len < n + n) len <<= 1,++l;
    for(int i = 0;i < len; ++i) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l-1));
    FFT(A,len,1),FFT(B,len,1),FFT(A2,len,1);
    for(int i = 0;i < len ; ++i) C[i] = A[i] * B[i];
    for(int i = 0;i < len ; ++i) C2[i] = A2[i] * B[i];
    FFT(C,len,-1),FFT(C2,len,-1);
    for(int i = 0;i < len; ++i) C2[i].x /= len,C[i].x /= len;
    for(int i = 1;i <= n; ++i) printf("%.3f\n",C[i].x - C2[n - i + 1].x);
    return 0;
}