vijos - P1279Leave-绿光(数学归纳法 + python)

P1279Leave-绿光

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背景

期待这一份幸运，和一份冲劲，多么奇异的际遇……。

燕姿在演唱完绿光这首歌后，出给了姿迷一个考题。

北欧有一个传说！

人一生中能看见绿光！

他就一生都能够得到幸福。

描写叙述

燕姿唱完这首歌。天上降落了一道绿光。在地上形成了一个矩形的映射。矩形的长为a，宽为b。燕姿向姿迷出了一个考题。谁可以把这个矩形绿光阵分成若干个正整数的正方形。谁的正方形边长之和最小，他就将得到燕姿的一个合影。姿迷们都非常想得到合影，但是怎么分才最小呢？大家都束手无策，如今，这个问题交给你了。

歌迷X：呜呜呜，俺的语文不好，听不懂你在讲什么。

燕姿：别怕。事实上这个问题能够简化为……

将边长为正整数a，b的长方形划分成若干边长均为正整数，每一个正方形的边均平行于矩形的对应边，试求这些正方形边之和的最小值MIN。

(假设这个长方形能够分成N个正方形。当中每一个边长为Ai,那么MIN=A1+A2+^^^+AN

注意，数组A中的元素可能相等）

格式

输入格式

一共10行

每行两个正整数，Ai，Bi

对于30%的数据，Ai。Bi<maxint

对于100%的数据。Ai，Bi<maxlongint;

输出格式

一共10行

每行一个整数，输出MINi

例子1

例子输入1[复制]

例子输出1[复制]

限制

每点1s

提示

对于例子，可全分长边长为一的正方形，并

记所求最小值为f(m,n),能够证明f(m,n)=m+n-(m,n). (*)

当中(m,n)表示m和n的最大公约数.

其实,最好还是设m≥n.

(1)关于m归纳,能够证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为m+n-(m,n).

当m=1时,命题显然成立.

如果当m≤k时,结论成立(k≥1).当m=k+1时,若n= k+1,则命题显然成立.若n< k+1,从矩形ABCD中切去正方形一个边长为n(如图),

由归纳如果剩下的矩形有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m-n+n-(m-n,n)= m-(m,n).

于是原矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为m+n- (m,n).

(2)关于m归纳能够证明(*)成立.

当m=1时,因为n=1,显然f (m,n)=1= m+n- (m,n).

如果当m≤k时,对随意1≤n≤m有f (m,n)= m+n- (m,n).

若m=k+1,当n= k+1时,显然f(m,n)= k+1= m+n- (m,n).

当1≤n≤k时,设矩形ABCD按要求分成了p个正方形,其边长分别为a1,a2,…,ap,最好还是设a1≥a2≥…≥ap.

显然a1=n或a1若a1 m+n- (m,n).

若a1=n,则一个边长分别为m-n和n的矩形可按题目要求分成边长分别为a2,…,ap的正方形,由归纳如果

a2+…+ap≥m-n+n-(m-n,n)= m- (m,n).

从而a1+a2+…+ap≥m+n-(m,n).

于是当m=k+1时,f(m,n)≥m+n- (m,n).

再由(1)可知f (m,n)=m+n- (m,n).

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQv/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center" alt="">

#!/usr/bin/env python3

# -*- coding: utf-8 -*-

def gcd(a, b):

    if not b:

        return a

    else :

        return gcd(b, a % b)

def lcm(a, b):

    return a + b - gcd(a, b)

import sys

import math

for i in range(10):

    a, b = map(int,raw_input().split())

    print lcm(a, b)