[CF98E]Help Shrek and Donkey
题意:A和B两个卡牌大师玩游戏,A有$n$张牌,B有$m$张牌,桌上有$1$张牌,这$n+m+1$张牌互不相同且A和B都知道这些牌里有什么牌(但他们互相不知道对方有什么牌,两个人也都不知道桌上的那张牌是哪张),游戏轮流进行,A先手,每轮可以①询问对方有没有某张牌,如果对方有,就要把它丢弃,否则表明自己没有这张牌②猜测桌上的牌,猜对了就赢,猜错了就输,问$A$和$B$获胜的概率(假设两人都磕了药足够聪明)
很棒的题啊!奇妙思路++
首先肯定只有在最后才会去猜测桌上的牌,因为要一发定输赢
假设这轮是A,下一轮是B,那么A可以去询问B有没有某张牌,这个询问有两种性质,可以是
①真询问,也就是随机询问对方有没有$m+1$张牌中的某一张
②假询问,也就是随机询问对方有没有自己$n$张牌中的某张牌
为什么要有假询问?因为这样做可以勾引B去猜桌上的牌,如果B猜错了,A自然就赢了
下面对A的询问真假性和B的反应分类讨论,设先手有$n$张牌,后手有$m$张牌时先手获胜的概率是$f\left(n,m\right)$
①A做真询问
如果问到B有的牌,那么B就知道A是在做真询问,局面就变成B扔掉一张牌并先手;此时A获胜的概率是$\dfrac{m}{m+1}\left(1-f\left(m-1,n\right)\right)$
如果恰好问到桌上那张牌:如果B认为A在做真询问,那么B就赢了;如果B认为A在做假询问,那么B之后就会认为桌上的牌不是这张,A就知道桌上的牌是这张,那么A就赢了,此时A获胜的概率应加上$\dfrac{1}{m+1}$
②A做假询问
如果B认为A是在做真询问,那么他就会猜错,A稳赢,获胜概率为$1$
如果B认为A是在做假询问,那么A和B都知道A有这张牌,和扔掉没有区别,所以局面相当于A扔掉一张牌后B先手,此时A获胜的概率为$1-f\left(m,n-1\right)$
假设A有$p$的概率选择真询问,有$1-p$的概率选择假询问,因为B会让A获胜的概率尽可能小,所以A的总获胜概率为
$\min\left\{\dfrac{pm}{m+1}\left(1-f\left(m-1,n\right)\right)+1-p,p\left(\dfrac{1}{m+1}+\dfrac{m}{m+1}\left(1-f\left(m-1,n\right)\right)\right)+\left(1-p\right)\left(1-f\left(m,n-1\right)\right)\right\}$
A要找到一个$p$使上面这个式子最大,如果把$p$作为自变量这其实就是两个一次函数取$\min$,一个单调递增一个单调递减,所以直接取交点即可
最后发现这其实是个DP,因为转移时下标比较鬼畜所以写成递归的形式会比较好
真是妙啊!
#include<stdio.h> double p[1010][1010]; double du(int x){return x;} void f(int n,int m){ if(p[n][m]>0)return; if(n==0){ p[0][m]=1/du(m+1); return; } if(m==0){ p[n][0]=1; return; } f(m-1,n); f(m,n-1); double pr=p[m][n-1]/(p[m][n-1]+1/du(m+1)); p[n][m]=pr*m/du(m+1)*(1-p[m-1][n])+1.-pr; } int main(){ int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); f(n,m); printf("%.9lf %.9lf",p[n][m],1.-p[n][m]); }
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