[BZOJ1025] [SCOI2009]游戏 解题报告
Description
windy学会了一种游戏。对于1到N这N个数字,都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。最开始windy把数字按顺序1,2,3,……,N写一排在纸上。然后再在这一排下面写上它们对应的数字。然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。如此反复,直到序列再次变为1,2,3,……,N。 如: 1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6 windy的操作如下 1 2 3 4 5 6 2 3 1 5 4 6 3 1 2 4 5 6 1 2 3 5 4 6 2 3 1 4 5 6 3 1 2 5 4 6 1 2 3 4 5 6 这时,我们就有若干排1到N的排列,上例中有7排。现在windy想知道,对于所有可能的对应关系,有多少种可能的排数。
题意是让我们求回归到原序列的置换次数,也就是对于这个置换的每一个循环大小的最小公倍数
如(123)(45)(6)
对于第一个循环回归需要3x次(x代表任意自然数),第二个循环需要2x次,第三个循环需要x次
显然对于这样的置换答案是6次
有多少种可能的排数,也就是这个最小公倍数有多少种可能..?
看起来比较奇怪的问题...
我们用一个序列来表示最小公倍数
2 3 5 7 11...997
x1 x2 x3 x4 x5...x168
最小公倍数就是2^x1*3^x2*5^x3...997^x168(说白了就是质因数分解>w<)
对于每一个循环,它的大小质因数分解之后对于每个质因子的系数都<=上面的序列
然后原问题就是满足题意的x1,x2..x168有多少种
我们来考虑怎样才会不满足题意...
首先x1,x2..x168再小也无所谓,因为就算全为0也是满足题意的,剩下的都可以用1来补全
显然对于这些x最小的n就是2^x1+3^x2...+997^x168
因为一旦2出现了x1次,说明一定有一个循环的个数中含有2^x1这个因子,我们令其中一个等于这个
为了使n最小化,其它都不含2这个因子
另外加法比乘法代价小这个显然...
也就是说对于x序列的限制也就是2^x1+3^x2...997^x168<=n
非常眼熟...非常简单的01背包...
/**************************************************************
Problem: 1025
User: mjy0724
Language: Pascal
Result: Accepted
Time:112 ms
Memory:8236 kb
****************************************************************/ program bzoj1025;
const maxn=;
var n,ans:int64;
i,j,k:longint;
p:array[-..maxn]of int64;
f:array[-..maxn,-..maxn]of int64;
vis:array[-..maxn]of boolean; procedure Euler;
var i,j:longint;
begin
fillchar(vis,sizeof(vis),true);
p[]:=;
for i:= to n do
begin
if vis[i] then
begin
inc(p[]);
p[p[]]:=i;
end;
for j:= to p[] do
begin
if i*p[j]>n then break;
vis[i*p[j]]:=false;
if i mod p[j]= then break;
end;
end;
end; begin
readln(n);
Euler;
fillchar(f,sizeof(f),);
f[,]:=;
for i:= to p[] do
for j:= to n do
begin
f[i][j]:=f[i-][j];
k:=p[i];
while k<=j do
begin
inc(f[i,j],f[i-,j-k]);
k:=k*p[i];
end;
end;
ans:=;
for i:= to n do inc(ans,f[p[],i]);
writeln(ans);
end.
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