[CQOI2012]局部极小值

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注意到\(4\times 7\)的矩阵的局部极小值最多只有8个，可以状压。

设\(f[i][sta]\)表示从小到大填数，当前填到\(i\)，极小值的填充状态为\(sta\)的方案数。

考虑到由于是从小到大填数，每个极小值位置没填时，其四周的位置也不能填。

那么可以分情况讨论：

当前填在极小值位置上，\(f[i][sta]+=f[i-1][sta-(1<<j)]\).其中\(j\)为枚举到的位置。

否则，处理出当前状态下可以填的位置数\(num\)，以前填了\(i-1\)个，转移：\(f[i][sta]+=f[i-1][sta]*(num-(i-1))\).

最后的答案为\(f[n*m][(1<<num)-1]\),\(num\)为极小值的个数。

但是，可以发现，题目要求极小值只有输入的那几个，但是这样转移可能会在随便填的地方产生新的极小值。

拿这个答案减去多了1个极小值的方案，就可以排除多一个极小值的错误，但是发现多两个的多减了一个，在加上……

其实就是容斥了一下，即原答案\(-\)多了一个的方案\(+\)多了两个的方案.....

然后多了几个的方案可以暴力枚举多了哪几个，添加到原图中，然后和上面一样的dp出来。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar((x%10)^48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

const int dx[]={0,1,1,1,0,-1,-1,-1,0};
const int dy[]={0,1,0,-1,1,1,0,-1,-1};
const int mod = 12345678;

int n,m,mp[10][10],f[30][(1<<9)+10],ans,vx[10],vy[10],num[1000],c[5][8];
char s[10];

int check(int x,int y) {return x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m;}

int calc() {
    memset(f,0,sizeof f);f[0][0]=1;vx[0]=0,vy[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            if(mp[i][j]) vx[++vx[0]]=i,vy[++vy[0]]=j;
    for(int s=0;s<(1<<vx[0]);s++) {
        memset(c,0,sizeof c);
        for(int i=1;i<=vx[0];i++)
            if(!(s&(1<<(i-1)))) {
                for(int x,y,k=1;k<=8;k++)
                    if(check(x=vx[i]+dx[k],y=vy[i]+dy[k])) c[x][y]=1;
                c[vx[i]][vy[i]]=1;
            }num[s]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                num[s]+=c[i][j]^1;
    }
    for(int i=1;i<=n*m;i++)
        for(int s=0;s<(1<<vx[0]);s++) {
            (f[i][s]+=f[i-1][s]*max(0ll,num[s]-(i-1))%mod)%=mod;
            for(int j=1;j<=vx[0];j++)
                if(s&(1<<(j-1))) f[i][s]=(f[i][s]+f[i-1][s^(1<<(j-1))])%mod;
        }
    return f[n*m][(1<<vx[0])-1];
}

//void debug() {for(int i=1;i<=n;i++,puts("")) for(int j=1;j<=m;j++,putchar(' ')) printf("%d",mp[i][j]);}

void dfs(int x,int y,int f) {
    if(y==m+1) return dfs(x+1,1,f),void();
    if(x==n+1) return ans=(ans+calc()*f)%mod,/*debug()*/void();
    dfs(x,y+1,f);int flag=0;
    for(int i=1;i<=8;i++)
        if(check(x+dx[i],y+dy[i])&&mp[x+dx[i]][y+dy[i]]) {flag=1;break;}
    if(mp[x][y]) flag=1;
    if(!flag) mp[x][y]=1,dfs(x,y+1,-f),mp[x][y]=0;
}

void solve () {
    read(n),read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%s",s+1);//cout<<s+1<<endl;
        for(int j=1;j<=m;j++) if(s[j]=='X') mp[i][j]=1;
    }//debug();puts("");
    dfs(1,1,1);write((ans%mod+mod)%mod);
}

signed main() {solve();return 0;}