MT【328】向量里的最佳逼近

已知平面向量$\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}$满足$|\overrightarrow {a}|=4,|\overrightarrow {b}|=2$.
若对于任意共面的单位向量$\overrightarrow {e},$记$|\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {e}|+|\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {e}|$的最大值为$M$求$M$的最小值.

分析:$|\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {e}|+|\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {e}|=\max\{|(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b})\cdot\overrightarrow {e}|,|(\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b})\cdot\overrightarrow {e}|\}$
故对于任意$\overrightarrow {e}$,$M=max\{|\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}|,|\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}|\}$,即
$M^2\ge|\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}|^2$ ; $M^2\ge|\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}|^2$
故$2M^2\ge|\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}|^2+|\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}|^2=2(a^2+b^2)=40$
即$M\ge 2\sqrt{5}$,当$\overrightarrow {a}\perp \overrightarrow {b}$时取到.